Страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

265.1) $\log_3(11 + 4^x) > 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2;$

3) $\lg(x^2 - 1) \le 0;$

4) $\lg(1 - x^2) \ge 0.$

1)

Решение:

Дано логарифмическое неравенство: $log_3(11 + 4^x) > 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$11 + 4^x > 0$

Поскольку показательная функция $4^x$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$, то и сумма $11 + 4^x$ всегда будет больше нуля. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим число 3 в виде логарифма по основанию 3:

$3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_3(11 + 4^x) > \log_3(27)$

Так как основание логарифма $a = 3$, и $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$11 + 4^x > 27$

Решим полученное показательное неравенство:

$4^x > 27 - 11$

$4^x > 16$

Представим 16 как степень с основанием 4:

$4^x > 4^2$

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к показателям степени знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Полученное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2)

Решение:

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$22 + 3^x > 0$

Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $22 + 3^x$ всегда будет положительным. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим неравенство. Представим -2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-2}) = \log_{\frac{1}{5}}(5^2) = \log_{\frac{1}{5}}(25)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > \log_{\frac{1}{5}}(25)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{5}$, и $0 < \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$22 + 3^x < 25$

Решим полученное показательное неравенство:

$3^x < 25 - 22$

$3^x < 3$

$3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3)

Решение:

Дано неравенство: $\lg(x^2 - 1) \le 0$. (lg - это десятичный логарифм, т.е. $\log_{10}$)

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 1 > 0$

$(x-1)(x+1) > 0$

Используя метод интервалов, находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим 0 в виде десятичного логарифма:

$0 = \lg(10^0) = \lg(1)$

Неравенство принимает вид:

$\lg(x^2 - 1) \le \lg(1)$

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 1 \le 1$

$x^2 - 2 \le 0$

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

3. Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы должны удовлетворить системе условий:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \\ x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает: $x \in [-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

4)

Решение:

Дано неравенство: $\lg(1 - x^2) \ge 0$.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 > 0$

$x^2 < 1$

Это неравенство выполняется, когда $|x| < 1$, то есть $x \in (-1; 1)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим 0 как $\lg(1)$:

$\lg(1 - x^2) \ge \lg(1)$

Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$1 - x^2 \ge 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 \le 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Единственное значение, при котором это неравенство выполняется, это когда $x^2 = 0$, что означает $x = 0$.

3. Проверим, входит ли найденное решение в ОДЗ. Значение $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$.

Следовательно, единственным решением неравенства является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

266. 1) $\log_5 (x^2 - 3) > 0;$

2) $\log_8 (-9 + x^2) \ge 0;$

3) $\log_4 \frac{2x-1}{x+1} \ge \log_4 3;$

4) $\lg \frac{3-x}{x+2} < 1.$

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_{5}(x^2 - 3) > 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$x^2 - 3 > 0$
$x^2 > 3$
Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.
Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{5}(1)$.Неравенство принимает вид:$\log_{5}(x^2 - 3) > \log_{5}(1)$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:$x^2 - 3 > 1$
$x^2 > 4$
Решениями этого неравенства являются $x < -2$ или $x > 2$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Для получения окончательного ответа найдем пересечение множества решений с ОДЗ.ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $-2 < -\sqrt{3}$ и $2 > \sqrt{3}$. Пересечением этих двух множеств будет $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_{8}(-9 + x^2) \ge 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:$-9 + x^2 > 0$
$x^2 > 9$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь решим неравенство. Представим $0$ как $\log_{8}(1)$:$\log_{8}(x^2 - 9) \ge \log_{8}(1)$.
Основание логарифма $8 > 1$, поэтому функция возрастающая и знак неравенства сохраняется:$x^2 - 9 \ge 1$
$x^2 \ge 10$
Решения этого неравенства: $x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.Решение неравенства: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.Так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, то $-\sqrt{10} < -3$ и $\sqrt{10} > 3$. Пересечением этих множеств является $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{4}\frac{2x-1}{x+1} \ge \log_{4}3$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля:$\frac{2x-1}{x+1} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1/2$. Нули знаменателя: $x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$. Определив знаки дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решаем основное неравенство. Основание $4 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:$\frac{2x-1}{x+1} \ge 3$
$\frac{2x-1}{x+1} - 3 \ge 0$
$\frac{2x-1 - 3(x+1)}{x+1} \ge 0$
$\frac{2x-1 - 3x - 3}{x+1} \ge 0$
$\frac{-x-4}{x+1} \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:$\frac{x+4}{x+1} \le 0$
Снова используем метод интервалов. Нуль числителя $x=-4$ (точка будет закрашенная), нуль знаменателя $x=-1$ (точка выколотая). Получаем интервалы $(-\infty; -4]$, $[-4; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервале $[-4; -1)$.
Находим пересечение решения $x \in [-4; -1)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$.Общей частью является интервал $[-4; -1)$.
Ответ: $[-4; -1)$.

4) Решим неравенство $\lg\frac{3-x}{x+2} < 1$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\log_{10}$.ОДЗ: $\frac{3-x}{x+2} > 0$.
Для решения этого неравенства методом интервалов найдем нули числителя ($x=3$) и знаменателя ($x=-2$). Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным, и сменим знак: $\frac{x-3}{x+2} < 0$. Решением этого неравенства является интервал $(-2; 3)$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.
Теперь решим исходное неравенство. Представим $1$ как $\lg 10$:$\lg\frac{3-x}{x+2} < \lg 10$.
Основание логарифма $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:$\frac{3-x}{x+2} < 10$
$\frac{3-x}{x+2} - 10 < 0$
$\frac{3-x - 10(x+2)}{x+2} < 0$
$\frac{3-x - 10x - 20}{x+2} < 0$
$\frac{-11x - 17}{x+2} < 0$
Умножим на -1 и сменим знак:$\frac{11x + 17}{x+2} > 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2) \cup (-17/11; +\infty)$.
Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-2; 3)$.Пересечением множеств $x \in (-\infty; -2) \cup (-17/11; +\infty)$ и $x \in (-2; 3)$ является интервал $(-17/11; 3)$.
Ответ: $(-17/11; 3)$.

267.1) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1;$

2) $2^{\log_2(x^2+x)} < 2;$

3) $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} \ge 7^{\log_7(2-x)};$

4) $0,9^{\log_{0,9}(x^2-1)} \le 6^{\log_6(x+3)}.$

1)

Решение:

Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x^2 - 1 > 0$.

На ОДЗ левая часть неравенства преобразуется с использованием основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$. Таким образом, неравенство принимает вид:

$x^2 - 1 > 1$.

Теперь необходимо решить систему неравенств, состоящую из ОДЗ и полученного неравенства:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 1 \end{cases}$

Второе неравенство, $x^2 > 2$, является более строгим, чем первое, $x^2 > 1$. Если $x^2 > 2$, то $x^2$ автоматически больше 1. Поэтому достаточно решить только второе неравенство.

$x^2 > 2$

$|x| > \sqrt{2}$

Это означает, что $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Решение:

Исходное неравенство: $2^{\log_2(x^2+x)} < 2$.

ОДЗ определяется условием $x^2+x > 0$. Разложим на множители: $x(x+1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

На ОДЗ, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим левую часть неравенства:

$x^2+x < 2$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2+x-2 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y=x^2+x-2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2+x-2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-2, 1)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение неравенства: $x \in (-2, 1)$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Пересечением этих двух множеств является $x \in (-2, -1) \cup (0, 1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 1)$.

3)

Решение:

Исходное неравенство: $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} \geq 7^{\log_7(2-x)}$.

Найдем ОДЗ. Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-1 > 0 \\ 2-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < 2 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

На ОДЗ применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям неравенства:

$x-1 \geq 2-x$.

Решим полученное линейное неравенство:

$x+x \geq 2+1$

$2x \geq 3$

$x \geq 1.5$

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ:

Решение неравенства: $x \in [1.5, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

Пересечение этих множеств дает итоговый ответ: $x \in [1.5, 2)$.

Ответ: $x \in [1.5, 2)$.

4)

Решение:

Исходное неравенство: $0.9^{\log_{0.9}(x^2-1)} \leq 6^{\log_6(x+3)}$.

Найдем ОДЗ из условий положительности выражений под логарифмами:

$\begin{cases} x^2-1 > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-1)(x+1) > 0 \\ x > -3 \end{cases}$

Первое неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Второе неравенство при $x > -3$. Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

На ОДЗ, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упрощаем неравенство:

$x^2-1 \leq x+3$.

Переносим все члены в левую часть:

$x^2 - x - 4 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 4 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Графиком функции $y=x^2-x-4$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-x-4 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

Оценим значения корней: $4 < \sqrt{17} < 5$, поэтому $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56$ и $\frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56$.

Решение: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение с интервалом $(-3, -1)$: $[\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, -1)$.

Пересечение с интервалом $(1, \infty)$: $(1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, -1) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}]$.

Решите системы неравенств (268–269):

268. 1)

$\begin{cases} \log_{0.2} (x+1) \ge -1 \\ 2x-1 < 5 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \lg(1-x) \le 1 \\ 3-x \le 2 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \ln(x+5) \le 0 \\ x+15 > 6x \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 11x+12 \ge 13x \\ \log_7(31-2x) < 1 \end{cases}$

1)

Дано:

$\begin{cases} \log_{0,2}(x+1) \ge -1 \\ 2x-1 < 5 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,2}(x+1) \ge -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{0,2}(0,2^{-1}) = \log_{0,2}(5)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0,2}(x+1) \ge \log_{0,2}(5)$.

Так как основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x+1 \le 5$.

Отсюда $x \le 4$.

С учетом ОДЗ ($x > -1$), получаем решение первого неравенства: $-1 < x \le 4$, или $x \in (-1; 4]$.

2. Решим второе неравенство: $2x-1 < 5$.

Перенесем $-1$ в правую часть: $2x < 5+1$, то есть $2x < 6$.

Разделим обе части на 2: $x < 3$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in (-1; 4]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} \lg(1-x) \le 1 \\ 3-x \le 2 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\lg(1-x) \le 1$.

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $1 = \lg(10)$.

Неравенство принимает вид: $\lg(1-x) \le \lg(10)$.

Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $1-x \le 10$.

Переносим 1 вправо: $-x \le 9$.

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: $x \ge -9$.

С учетом ОДЗ ($x < 1$), получаем решение первого неравенства: $-9 \le x < 1$, или $x \in [-9; 1)$.

2. Решим второе неравенство: $3-x \le 2$.

Переносим 3 вправо: $-x \le 2-3$, то есть $-x \le -1$.

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: $x \ge 1$. Решение второго неравенства: $x \in [1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства $x \in [-9; 1)$, а второго $x \in [1; +\infty)$. Эти множества не имеют общих точек, так как первое множество не включает 1, а второе начинается с 1.

Пересечение множеств пусто: $[-9; 1) \cap [1; +\infty) = \emptyset$.

Ответ: нет решений.

3)

Дано:

$\begin{cases} \ln(x+5) \le 0 \\ x+15 > 6x \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\ln(x+5) \le 0$.

ОДЗ: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

Представим правую часть в виде натурального логарифма: $0 = \ln(1)$.

Неравенство принимает вид: $\ln(x+5) \le \ln(1)$.

Так как основание $e > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $x+5 \le 1$.

Отсюда $x \le -4$.

С учетом ОДЗ ($x > -5$), получаем решение первого неравенства: $-5 < x \le -4$, или $x \in (-5; -4]$.

2. Решим второе неравенство: $x+15 > 6x$.

Переносим $x$ вправо, а числа оставляем слева: $15 > 6x - x$, то есть $15 > 5x$.

Разделим обе части на 5: $3 > x$, или $x < 3$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-5; -4]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-5; -4]$.

Ответ: $(-5; -4]$.

4)

Дано:

$\begin{cases} 11x+12 \ge 13x \\ \log_7(31-2x) < 1 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $11x+12 \ge 13x$.

Переносим $11x$ в правую часть: $12 \ge 13x - 11x$, то есть $12 \ge 2x$.

Разделим обе части на 2: $6 \ge x$, или $x \le 6$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 6]$.

2. Решим второе неравенство: $\log_7(31-2x) < 1$.

ОДЗ: $31-2x > 0$, откуда $31 > 2x$, или $x < 15,5$.

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 7: $1 = \log_7(7)$.

Неравенство принимает вид: $\log_7(31-2x) < \log_7(7)$.

Так как основание $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $31-2x < 7$.

Переносим 31 вправо: $-2x < 7-31$, то есть $-2x < -24$.

Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $x > 12$.

С учетом ОДЗ ($x < 15,5$), получаем решение второго неравенства: $12 < x < 15,5$, или $x \in (12; 15,5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства $x \in (-\infty; 6]$, а второго $x \in (12; 15,5)$. Эти множества не пересекаются.

Пересечение множеств пусто: $(-\infty; 6] \cap (12; 15,5) = \emptyset$.

Ответ: нет решений.

269. 1)

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ \log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0, \\ \log_{2}(x-3) \le 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}, \\ 36 - x^2 > 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \log_{3}(x-5) \le 1, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ \log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 4 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках, где график функции не ниже оси абсцисс.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.
Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{7}$: $-1 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Поскольку основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x+2 \ge 7$
$x \ge 5$.
С учётом ОДЗ ($x > -2$), решение второго неравенства есть $x \in [5, +\infty)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ и $[5, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in [5, +\infty)$.
Ответ: $[5, +\infty)$.

2) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ \log_2(x-3) \le 2 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 9 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 9 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $\log_2(x-3) \le 2$.
ОДЗ: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.
Представим $2$ как логарифм по основанию $2$: $2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.
Неравенство принимает вид: $\log_2(x-3) \le \log_2(4)$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x-3 \le 4$
$x \le 7$.
С учётом ОДЗ ($x > 3$), решение второго неравенства есть $x \in (3, 7]$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ и $(3, 7]$.
Итоговое решение: $x \in (3, 7]$.
Ответ: $(3, 7]$.

3) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} \log_{81}(x+2) > \frac{1}{2} \\ 36 - x^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.
Представим $\frac{1}{2}$ как логарифм по основанию 81: $\frac{1}{2} = \log_{81}(81^{\frac{1}{2}}) = \log_{81}(9)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{81}(x+2) > \log_{81}(9)$.
Поскольку основание $81 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x+2 > 9$
$x > 7$.
С учётом ОДЗ ($x > -2$), решение первого неравенства есть $x \in (7, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $36 - x^2 > 0$.
$x^2 < 36$.
Это неравенство равносильно $|x| < 6$, что означает $-6 < x < 6$.
Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(7, +\infty)$ и $(-6, 6)$.
Данные интервалы не пересекаются.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) Решение:
Дана система неравенств: $ \begin{cases} \log_3(x-5) \le 1 \\ x^2 - 16 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $\log_3(x-5) \le 1$.
ОДЗ: $x-5 > 0$, откуда $x > 5$.
Представим $1$ как логарифм по основанию $3$: $1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.
Неравенство принимает вид: $\log_3(x-5) \le \log_3(3)$.
Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x-5 \le 3$
$x \le 8$.
С учётом ОДЗ ($x > 5$), решение первого неравенства есть $x \in (5, 8]$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 16 > 0$.
Разложим на множители: $(x-4)(x+4) > 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 16 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
3. Найдём пересечение решений обоих неравенств.
Решением системы является пересечение множеств $(5, 8]$ и $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (5, 8]$.
Ответ: $(5, 8]$.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Решите уравнение $\left(\frac{7}{11}\right)^{4x-5} = \left(\frac{11}{7}\right)^{5x-4}$:

A. 1;

B. 0;

C. -1;

D. Не имеет корней.

2. Найдите наибольшее натуральное решение неравенства $0,37^{x-9} > 0,37$:

A. 10;

B. 8;

C. 9;

D. Такое число не существует.

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$:

A. $(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z; $

B. $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z; $

C. $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z; $

D. $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z.$

4. Найдите корни уравнения $\log_5 (x-7) + \log_5 (x-2) = \log_5 (x+5)$:

A. 9;

B. 1;

C. 1;

D. 7.

5. При каких значениях x функция $y = \log_2 (x-5)$ принимает положительные значения:

A. $(5; +\infty);$

B. $[5; +\infty);$

C. $(6; +\infty);$

D. $[6; +\infty)?$

6. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} < 5: \end{cases}$

A. $[-2; 2];$

B. $(-\infty; -2];$

C. $[2; +\infty);$

D. $(0; +\infty).$

7. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_5 (x+y)=1, \\ 2x+y=7: \end{cases}$

A. $(3; 2);$

B. $(2; 3);$

C. $(-2; -3);$

D. $(3; 1).$

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$ и $5 - x > 0: $

A. $[3; 7];$

B. $(-\infty; 3];$

C. $(5; 7];$

D. $[3; 5)\cup(5; 7].$

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенство $\log_{\frac{1}{7}} (2x-1) \ge 0: $

A. 1;

B. 0;

C. 2;

D. Такое число не существует.

10. Решите систему неравенств $\begin{cases} \log_6 x \ge 0, \\ 0,19x^2 > 0,19x: \end{cases}$

A. $(0; 1);$

B. $(0; 1];$

C. $(0; +\infty);$

D. Нет решения.

1. Решите уравнение $(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{11}{7})^{5x-4}$

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{11}{7} = (\frac{7}{11})^{-1}$.

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = ((\frac{7}{11})^{-1})^{5x-4}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{7}{11})^{-1 \cdot (5x-4)}$

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{7}{11})^{-5x+4}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4x - 5 = -5x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$4x + 5x = 4 + 5$

$9x = 9$

$x = \frac{9}{9}$

$x = 1$

Ответ: A. 1

2. Найдите наибольшее натуральное решение неравенства $0,37^{x-9} > 0,37$

Решение:

Запишем правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,37:

$0,37^{x-9} > 0,37^1$

Так как основание степени $a = 0,37$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x - 9 < 1$

$x < 1 + 9$

$x < 10$

Нам нужно найти наибольшее натуральное (целое положительное) число, удовлетворяющее этому неравенству. Натуральные числа, меньшие 10, это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наибольшее из них - 9.

Ответ: C. 9

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$

Решение:

Перенесем $\sqrt{10}$ в правую часть уравнения:

$10^{\cos x} = \sqrt{10}$

Представим $\sqrt{10}$ как степень с основанием 10: $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$.

$10^{\cos x} = 10^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: C. $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

4. Найдите корни уравнения $\log_5(x-7) + \log_5(x-2) = \log_5(x+5)$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-7 > 0 \\ x-2 > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 7 \\ x > 2 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 7$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_b A + \log_b B = \log_b(AB)$:

$\log_5((x-7)(x-2)) = \log_5(x+5)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x-7)(x-2) = x+5$

$x^2 - 2x - 7x + 14 = x+5$

$x^2 - 9x + 14 = x+5$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$):

$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 7$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=9$.

Ответ: A. 9

5. При каких значениях x функция $y = \log_2(x-5)$ принимает положительные значения?

Решение:

Нам нужно решить неравенство $y > 0$, то есть $\log_2(x-5) > 0$.

Сначала найдем ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.

Представим 0 в виде логарифма по основанию 2: $0 = \log_2 1$.

$\log_2(x-5) > \log_2 1$

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x-5 > 1$

$x > 6$

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x>5$), получаем итоговый результат $x>6$.

Интервал: $(6; +\infty)$.

Ответ: C. (6; +∞)

6. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ (\frac{1}{5})^{x+1} < 5 \end{cases}$

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $x^2 - 4 \ge 0$

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Корни уравнения $x^2-4=0$ равны $x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола $y=x^2-4$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$. Решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} < 5$

Приведем к основанию 5: $(5^{-1})^{x+1} < 5^1 \implies 5^{-x-1} < 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$-x-1 < 1$

$-x < 2$

$x > -2$

Решение: $x \in (-2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ и $(-2; +\infty)$.

Пересечение этих множеств - это интервал, где $x$ одновременно больше -2 и принадлежит первому множеству. Этому условию удовлетворяет промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: C. [2; +∞)

7. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_5(x+y) = 1 \\ 2x+y = 7 \end{cases}$

Решение:

Из первого уравнения по определению логарифма следует:

$x+y = 5^1$

$x+y = 5$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ 2x+y = 7 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x+y) - (x+y) = 7 - 5$

$x = 2$

Подставим значение $x=2$ в первое уравнение $x+y=5$:

$2+y=5$

$y=3$

Решение системы - пара чисел (2; 3). Проверим ОДЗ логарифма: $x+y = 2+3=5 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: B. (2; 3)

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$ и $5-x>0$

Решение:

Требуется решить систему неравенств: $\begin{cases} 5^{x^2} \ge 5^{10x-21} \\ 5-x > 0 \end{cases}$

1) $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$

Основание $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 \ge 10x-21$

$x^2 - 10x + 21 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ по теореме Виета равны 3 и 7. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.

2) $5-x > 0$

$5 > x$ или $x < 5$. Решение: $x \in (-\infty; 5)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$.

Пересекая $(-\infty; 3]$ с $(-\infty; 5)$, получаем $(-\infty; 3]$.

Пересекая $[7; +\infty)$ с $(-\infty; 5)$, получаем пустое множество.

Общее решение - это $(-\infty; 3]$.

Ответ: B. (-∞; 3]

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенство $\log_{\frac{1}{7}}(2x-1) \ge 0$

Решение:

Найдем ОДЗ: $2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.

Решим неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию $\frac{1}{7}$: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.

$\log_{\frac{1}{7}}(2x-1) \ge \log_{\frac{1}{7}} 1$

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-1 \le 1$

$2x \le 2$

$x \le 1$

Объединим с ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$ и $x \le 1$. Получаем интервал $(\frac{1}{2}; 1]$.

Наименьшее целое число в этом интервале - это 1.

Ответ: A. 1

10. Решите систему неравенств $\begin{cases} \log_6 x > 0 \\ 0,19^{x^2} > 0,19^x \end{cases}$

Решение:

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $\log_6 x > 0$

ОДЗ: $x>0$.

$\log_6 x > \log_6 1$. Так как основание $6>1$, то $x>1$. Решение: $(1; +\infty)$.

2) $0,19^{x^2} > 0,19^x$

Основание $a = 0,19$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$x^2 < x$

$x^2 - x < 0$

$x(x-1) < 0$

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны 0 и 1. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (0; 1)$.

Теперь найдем пересечение решений: $(1; +\infty)$ и $(0; 1)$.

Эти два интервала не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: D. Нет решения