Номер 266, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

266. 1) $\log_5 (x^2 - 3) > 0;$

2) $\log_8 (-9 + x^2) \ge 0;$

3) $\log_4 \frac{2x-1}{x+1} \ge \log_4 3;$

4) $\lg \frac{3-x}{x+2} < 1.$

1) Решим логарифмическое неравенство $\log_{5}(x^2 - 3) > 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$x^2 - 3 > 0$
$x^2 > 3$
Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.
Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{5}(1)$.Неравенство принимает вид:$\log_{5}(x^2 - 3) > \log_{5}(1)$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:$x^2 - 3 > 1$
$x^2 > 4$
Решениями этого неравенства являются $x < -2$ или $x > 2$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Для получения окончательного ответа найдем пересечение множества решений с ОДЗ.ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $-2 < -\sqrt{3}$ и $2 > \sqrt{3}$. Пересечением этих двух множеств будет $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_{8}(-9 + x^2) \ge 0$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:$-9 + x^2 > 0$
$x^2 > 9$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь решим неравенство. Представим $0$ как $\log_{8}(1)$:$\log_{8}(x^2 - 9) \ge \log_{8}(1)$.
Основание логарифма $8 > 1$, поэтому функция возрастающая и знак неравенства сохраняется:$x^2 - 9 \ge 1$
$x^2 \ge 10$
Решения этого неравенства: $x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.Решение неравенства: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.Так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, то $-\sqrt{10} < -3$ и $\sqrt{10} > 3$. Пересечением этих множеств является $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{4}\frac{2x-1}{x+1} \ge \log_{4}3$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля:$\frac{2x-1}{x+1} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1/2$. Нули знаменателя: $x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$. Определив знаки дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решаем основное неравенство. Основание $4 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:$\frac{2x-1}{x+1} \ge 3$
$\frac{2x-1}{x+1} - 3 \ge 0$
$\frac{2x-1 - 3(x+1)}{x+1} \ge 0$
$\frac{2x-1 - 3x - 3}{x+1} \ge 0$
$\frac{-x-4}{x+1} \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:$\frac{x+4}{x+1} \le 0$
Снова используем метод интервалов. Нуль числителя $x=-4$ (точка будет закрашенная), нуль знаменателя $x=-1$ (точка выколотая). Получаем интервалы $(-\infty; -4]$, $[-4; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Неравенство выполняется на интервале $[-4; -1)$.
Находим пересечение решения $x \in [-4; -1)$ с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (1/2; +\infty)$.Общей частью является интервал $[-4; -1)$.
Ответ: $[-4; -1)$.

4) Решим неравенство $\lg\frac{3-x}{x+2} < 1$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\log_{10}$.ОДЗ: $\frac{3-x}{x+2} > 0$.
Для решения этого неравенства методом интервалов найдем нули числителя ($x=3$) и знаменателя ($x=-2$). Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x$ в числителе стал положительным, и сменим знак: $\frac{x-3}{x+2} < 0$. Решением этого неравенства является интервал $(-2; 3)$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.
Теперь решим исходное неравенство. Представим $1$ как $\lg 10$:$\lg\frac{3-x}{x+2} < \lg 10$.
Основание логарифма $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:$\frac{3-x}{x+2} < 10$
$\frac{3-x}{x+2} - 10 < 0$
$\frac{3-x - 10(x+2)}{x+2} < 0$
$\frac{3-x - 10x - 20}{x+2} < 0$
$\frac{-11x - 17}{x+2} < 0$
Умножим на -1 и сменим знак:$\frac{11x + 17}{x+2} > 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2) \cup (-17/11; +\infty)$.
Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-2; 3)$.Пересечением множеств $x \in (-\infty; -2) \cup (-17/11; +\infty)$ и $x \in (-2; 3)$ является интервал $(-17/11; 3)$.
Ответ: $(-17/11; 3)$.