Номер 260, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

260.

1) $\log_{0.4} (2x - 5) > \log_{0.4} (x + 1)$;

2) $\log_4 (3x - 1) < \log_4 (2x + 3)$;

3) $\log_3 \frac{2 - 3x}{x} \ge -1$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} (3x - 4) < \log_{\frac{1}{2}} (x - 2).$

1) $log_{0.4}(2x - 5) > log_{0.4}(x + 1)$

Решение:

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражения под знаками логарифмов положительны:

$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} 2x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2.5 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 2.5$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма равно $0.4$, что меньше 1 ($0 < 0.4 < 1$). Это означает, что логарифмическая функция $y=log_{0.4}(t)$ является убывающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$2x - 5 < x + 1$

$2x - x < 1 + 5$

$x < 6$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение решения неравенства с областью допустимых значений:

$\begin{cases} x > 2.5 \\ x < 6 \end{cases}$

Это соответствует интервалу $(2.5; 6)$.

Ответ: $(2.5; 6)$.

2) $log_4(3x - 1) < log_4(2x + 3)$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 1 \\ 2x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -1.5 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$.

Основание логарифма равно 4, что больше 1. Логарифмическая функция $y=log_4(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x - 1 < 2x + 3$

$3x - 2x < 3 + 1$

$x < 4$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x < 4 \end{cases}$

Решением является интервал $(\frac{1}{3}; 4)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 4)$.

3) $log_3\frac{2-3x}{x} \ge -1$

Решение:

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы аргумент логарифма был строго положителен:

$\frac{2-3x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Нуль знаменателя: $x = 0$. На числовой оси отмечаем точки 0 и $\frac{2}{3}$ и определяем знаки дроби в каждом из интервалов. Положительные значения дробь принимает при $x \in (0; \frac{2}{3})$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$-1 = log_3(3^{-1}) = log_3(\frac{1}{3})$

Неравенство принимает вид:

$log_3\frac{2-3x}{x} \ge log_3\frac{1}{3}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{2-3x}{x} \ge \frac{1}{3}$

$\frac{2-3x}{x} - \frac{1}{3} \ge 0$

$\frac{3(2-3x) - 1(x)}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 9x - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 10x}{3x} \ge 0$

Решаем это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $6 - 10x = 0 \Rightarrow x = 0.6$. Нуль знаменателя: $x=0$. Решением неравенства является интервал $(0; 0.6]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{2}{3})$. Так как $0.6 = \frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, а $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$, то $0.6 < \frac{2}{3}$. Пересечением интервалов $(0; \frac{2}{3})$ и $(0; 0.6]$ является $(0; 0.6]$.

Ответ: $(0; 0.6]$.

4) $log_{\frac{1}{2}}(3x-4) < log_{\frac{1}{2}}(x-2)$

Решение:

Находим область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{4}{3} \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$, что находится в интервале $(0; 1)$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 4 > x - 2$

$3x - x > 4 - 2$

$2x > 2$

$x > 1$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases}$

Общим решением является $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.