Вопросы, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

Да, обязательно. Основная цель при решении неравенства — свести его к простейшему виду $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ или $\log_a f(x) > b$. Для этого применяются следующие свойства:

• Логарифм произведения и частного: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$, что позволяет объединять несколько логарифмов в один.
• Вынесение степени: $\log_a x^k = k \log_a x$, помогает уравнять основания или упростить аргумент.
• Переход к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, критически важен, если в неравенстве разные основания.

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

Существует несколько базовых стратегий:

• Метод потенцирования: Переход от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов (с учетом ОДЗ).
• Введение новой переменной (метод замены): Если неравенство содержит логарифм в квадрате или другие повторяющиеся конструкции, его сводят к квадратному или рациональному.
• Метод рационализации (метод замены множителей): Замена сложного логарифмического выражения на более простое рациональное, имеющее тот же знак. Особенно эффективно, если переменная находится в основании логарифма.
• Метод интервалов: Универсальный способ, при котором находятся нули функции и точки разрыва, после чего проверяются знаки на полученных промежутках ОДЗ.

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции?

Да, зависит напрямую. Это связано с монотонностью логарифмической функции $y = \log_a x$.

Обоснование:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. В этом случае при переходе от логарифмов к аргументам (потенцировании) знак неравенства сохраняется.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

Именно поэтому при решении неравенств вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ всегда рассматривают два случая или используют условие на основание.