Номер 251, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

251.1) $2 \log_3 (x - 2) + \log_3 (x - 4)^2 = 0;$

2) $2\lg x - \lg 4 + \lg (5 - x^2) = 0;$

3) $\lg[x(x + 9)] + \lg \frac{x+9}{x} = 0;$

4) $\frac{\lg\sqrt{x+7} - \lg2}{\lg8 - \lg(x-5)} = -1.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $2 \log_3 (x-2) + \log_3 (x-4)^2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ (x-4)^2 > 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 4 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3 (x-2)^2 + \log_3 (x-4)^2 = 0$

$\log_3 ((x-2)^2(x-4)^2) = 0$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $):

$(x-2)^2(x-4)^2 = 3^0$

$((x-2)(x-4))^2 = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $(x-2)(x-4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 = 1$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{2}$.

2) $(x-2)(x-4) = -1$

$x^2 - 6x + 8 = -1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это полный квадрат: $(x-3)^2 = 0$.

$x_3 = 3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Корень $x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.414 = 4.414$. Этот корень принадлежит интервалу $(4, \infty)$, следовательно, он подходит.

Корень $x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $1.586 < 2$.

Корень $x_3 = 3$. Этот корень принадлежит интервалу $(2, 4)$, следовательно, он подходит.

Ответ: $x=3, x=3+\sqrt{2}$.

2)

Решение:

Исходное уравнение: $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 5-x^2 > 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 5 \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} x > 0 \\ -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, \sqrt{5})$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\lg x^2 - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$

$\lg \left(\frac{x^2(5 - x^2)}{4}\right) = 0$

По определению десятичного логарифма:

$\frac{x^2(5 - x^2)}{4} = 10^0 = 1$

$x^2(5 - x^2) = 4$

$5x^2 - x^4 = 4$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (0, \sqrt{5})$. Приблизительно $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x=-1$ не принадлежит ОДЗ.

Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 < \sqrt{5}$.

Корень $x=-2$ не принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=1, x=2$.

3)

Решение:

Исходное уравнение: $\lg[x(x+9)] + \lg\frac{x+9}{x} = 0$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x(x+9) > 0 \\ \frac{x+9}{x} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства выполняются при $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\lg\left(x(x+9) \cdot \frac{x+9}{x}\right) = 0$

При $x \neq 0$, что выполняется в ОДЗ, можно сократить:

$\lg((x+9)^2) = 0$

По определению логарифма:

$(x+9)^2 = 10^0 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x+9 = 1 \Rightarrow x = -8$.

2) $x+9 = -1 \Rightarrow x = -10$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

Корень $x=-8$ не принадлежит ОДЗ.

Корень $x=-10$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=-10$.

4)

Решение:

Исходное уравнение: $\frac{\lg\sqrt{x+7}-\lg 2}{\lg 8 - \lg(x-5)} = -1$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x+7 > 0 \\ x-5 > 0 \\ \lg 8 - \lg(x-5) \neq 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > -7 \\ x > 5 \\ \lg 8 \neq \lg(x-5) \Rightarrow 8 \neq x-5 \Rightarrow x \neq 13 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Преобразуем уравнение:

$\lg\sqrt{x+7} - \lg 2 = -(\lg 8 - \lg(x-5))$

$\lg\sqrt{x+7} - \lg 2 = \lg(x-5) - \lg 8$

Используем свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \lg\frac{x-5}{8}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \frac{x-5}{8}$

$8\sqrt{x+7} = 2(x-5)$

$4\sqrt{x+7} = x-5$

Возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это условие выполняется в нашей ОДЗ.

$(4\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2$

$16(x+7) = x^2 - 10x + 25$

$16x + 112 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 26x - 87 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-87) = 676 + 348 = 1024 = 32^2$.

$x_{1,2} = \frac{26 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{26+32}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

$x_2 = \frac{26-32}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Корень $x_1=29$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2=-3$ не принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=29$.