Номер 252, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

252. 1) $3 \lg^2 (x - 1) - 10 \lg (x - 1) + 3 = 0;$

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1;$

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg\frac{1}{x};$

4) $\lg^2 x - 2 \lg x = \lg^2 100 - 1.$

1) $3 \lg^2(x-1) - 10 \lg(x-1) + 3 = 0$

Решение:

Это логарифмическое уравнение, которое сводится к квадратному.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg(x-1)$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 3$, то $\lg(x-1) = 3$.

По определению десятичного логарифма:

$x - 1 = 10^3$

$x - 1 = 1000$

$x_1 = 1001$

2. Если $t = \frac{1}{3}$, то $\lg(x-1) = \frac{1}{3}$.

По определению десятичного логарифма:

$x - 1 = 10^{1/3}$

$x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 1$), так как $1001 > 1$ и $1 + \sqrt[3]{10} > 1$.

Ответ: $x_1 = 1001, x_2 = 1 + \sqrt[3]{10}$.

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$

Решение:

Определим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x > 0$

2. $5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$

3. $1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(5-t)(1+t)$:

$\frac{1 \cdot (1+t) + 2 \cdot (5-t)}{(5-t)(1+t)} = 1$

$\frac{1+t+10-2t}{5+5t-t-t^2} = 1$

$\frac{11-t}{5+4t-t^2} = 1$

Так как мы учли в ОДЗ, что знаменатель не равен нулю, можем умножить обе части на него:

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$t^2 - 4t - t + 11 - 5 = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \neq 5$ и $t \neq -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $\lg x = 2 \implies x_1 = 10^2 = 100$.

2. Если $t = 3$, то $\lg x = 3 \implies x_2 = 10^3 = 1000$.

Оба корня ($100$ и $1000$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 10^5, x \neq 0.1$).

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 1000$.

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg \frac{1}{x}$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$, так как аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

Используем свойства логарифмов для упрощения уравнения:

$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$

$\lg \frac{1}{x} = \lg(x^{-1}) = - \lg x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2 + \lg x)^2 + (1 + \lg x)^2 = 14 - \lg x$

Сделаем замену $t = \lg x$:

$(2+t)^2 + (1+t)^2 = 14 - t$

Раскроем скобки:

$(4 + 4t + t^2) + (1 + 2t + t^2) = 14 - t$

Приведем подобные члены:

$2t^2 + 6t + 5 = 14 - t$

$2t^2 + 7t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Корни:

$t_1 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$

Выполним обратную замену:

1. Если $t=1$, то $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2. Если $t=-4.5$, то $\lg x = -4.5 \implies x_2 = 10^{-4.5} = 10^{-9/2} = \frac{1}{\sqrt{10^9}} = \frac{1}{10000\sqrt{10}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 10^{-4.5}$.

4) $\lg^2 x - 2 \lg x = \lg^2 100 - 1$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения. Так как $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, то $\lg^2 100 = 2^2 = 4$.

$\lg^2 x - 2 \lg x = 4 - 1$

$\lg^2 x - 2 \lg x = 3$

Перенесем 3 в левую часть:

$\lg^2 x - 2 \lg x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1=3$ и $t_2=-1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t=3$, то $\lg x = 3 \implies x_1 = 10^3 = 1000$.

2. Если $t=-1$, то $\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня ($1000$ и $0.1$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 1000, x_2 = 0.1$.