Номер 256, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

256.1)

$\begin{cases} \lg(x - y) = 2, \\ \lg x = \lg 3 + \lg y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x = 2y, \\ \log_3(x - y) + \log_3(x + y) = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 1 + \log_2 y = \log_2 (x + y), \\ \log_2(x + y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1. \end{cases}$

1)

Дано:

$$ \begin{cases} \lg(x-y) = 2 \\ \lg x = \lg 3 + \lg y \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x-y > 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Из этих условий следует, что $x > y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $$ \lg x = \lg(3y) $$ Поскольку логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов означает равенство их аргументов: $$ x = 3y $$

Преобразуем первое уравнение, используя определение десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $): $$ x - y = 10^2 $$ $$ x - y = 100 $$

Теперь решим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x = 3y \\ x - y = 100 \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $$ 3y - y = 100 $$ $$ 2y = 100 $$ $$ y = 50 $$ Теперь найдем $x$: $$ x = 3y = 3 \cdot 50 = 150 $$

Проверим, удовлетворяет ли решение $(150, 50)$ условиям ОДЗ: $150 > 50$ и $50 > 0$. Все условия выполнены.

Ответ: $(150, 50)$

2)

Дано:

$$ \begin{cases} x = 2y \\ \log_3(x-y) + \log_3(x+y) = 1 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x-y > 0 \\ x+y > 0 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов: $$ \log_3((x-y)(x+y)) = 1 $$ $$ \log_3(x^2 - y^2) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x^2 - y^2 = 3^1 = 3 $$

Получили систему уравнений: $$ \begin{cases} x = 2y \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} $$ Подставим $x = 2y$ во второе уравнение: $$ (2y)^2 - y^2 = 3 $$ $$ 4y^2 - y^2 = 3 $$ $$ 3y^2 = 3 $$ $$ y^2 = 1 $$ Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Проверим найденные пары чисел на соответствие ОДЗ.
Для пары $(2, 1)$: $x - y = 2 - 1 = 1 > 0$ и $x + y = 2 + 1 = 3 > 0$. Оба условия выполнены, следовательно, $(2, 1)$ является решением.
Для пары $(-2, -1)$: $x - y = -2 - (-1) = -1 < 0$. Условие $x-y > 0$ не выполнено, следовательно, $(-2, -1)$ не является решением.

Ответ: $(2, 1)$

3)

Дано:

$$ \begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0 \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение: $$ \log_4 x = \log_4 y $$ Отсюда следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение системы: $$ y^2 - 5y^2 + 4 = 0 $$ $$ -4y^2 = -4 $$ $$ y^2 = 1 $$ Так как по ОДЗ $y > 0$, то единственное возможное значение $y = 1$.

Поскольку $x = y$, то $x = 1$. Проверим решение $(1, 1)$ по ОДЗ: $x = 1 > 0$ и $y = 1 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(1, 1)$

4)

Дано:

$$ \begin{cases} 1 + \log_2 y = \log_2(x+y) \\ \log_2(x+y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1 \end{cases} $$

Найти: $x, y$

Решение:

Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} y > 0 \\ x+y > 0 \\ x^2 - xy + y^2 > 0 \end{cases} $$ Выражение $x^2 - xy + y^2$ можно представить как неполный квадрат суммы: $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2$. Так как $y > 0$, то $\frac{3}{4}y^2 > 0$, а $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$. Сумма этих слагаемых всегда положительна. Таким образом, ОДЗ сводится к двум условиям: $y > 0$ и $x+y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим $1$ как $\log_2 2$: $$ \log_2 2 + \log_2 y = \log_2(x+y) $$ $$ \log_2(2y) = \log_2(x+y) $$ Отсюда $2y = x+y$, что дает $x = y$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $$ \log_2((x+y)(x^2 - xy + y^2)) = 1 $$ $$ \log_2(x^3 + y^3) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x^3 + y^3 = 2^1 = 2 $$

Получили систему: $$ \begin{cases} x = y \\ x^3 + y^3 = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = y$ во второе уравнение: $$ x^3 + x^3 = 2 $$ $$ 2x^3 = 2 $$ $$ x^3 = 1 $$ $$ x = 1 $$

Так как $x = y$, то $y = 1$. Проверим решение $(1, 1)$ по ОДЗ: $y = 1 > 0$ и $x+y = 1+1 = 2 > 0$. Оба условия выполнены.

Ответ: $(1, 1)$