Номер 258, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

258.1) $\log_6(4x + 1) < 1;$

2) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge -1;$

3) $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1;$

4) $\log_{0.2}(7 - x) > -1.$

1) $\log_6(4x + 1) < 1$

Решение

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство. Это равносильно решению системы неравенств.

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $4x + 1 > 0$.

2. Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим $1$ как $\log_6(6)$.

$ \begin{cases} 4x + 1 > 0 \\ \log_6(4x + 1) < \log_6(6) \end{cases} $

$ \begin{cases} 4x > -1 \\ 4x + 1 < 6 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ 4x < 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.25 \\ x < 1.25 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих двух условий: $x \in (-0.25; 1.25)$.

Ответ: $(-0.25; 1.25)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge -1$

Решение

Решим данное неравенство, составив систему.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3 - 2x > 0$.

2. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Представим $-1$ как $\log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.

$ \begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge \log_{\frac{1}{3}}(3) \end{cases} $

$ \begin{cases} -2x > -3 \\ 3 - 2x \le 3 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ -2x \le 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 1.5 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих условий: $x \in [0; 1.5)$.

Ответ: $[0; 1.5)$.

3) $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1$

Решение

Составим и решим систему неравенств.

1. ОДЗ: $x + 0.6 > 0$.

2. Основание логарифма $0.4 < 1$, следовательно, функция убывающая, и знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный. Представим $1$ как $\log_{0.4}(0.4)$.

$ \begin{cases} x + 0.6 > 0 \\ \log_{0.4}(x + 0.6) < \log_{0.4}(0.4) \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x + 0.6 > 0.4 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x > 0.4 - 0.6 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x > -0.2 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является более сильное неравенство: $x > -0.2$.

Ответ: $(-0.2; +\infty)$.

4) $\log_{0.2}(7 - x) > -1$

Решение

Составим и решим систему неравенств.

1. ОДЗ: $7 - x > 0$.

2. Основание логарифма $0.2 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-1$ как $\log_{0.2}((0.2)^{-1}) = \log_{0.2}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{0.2}(5)$.

$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ \log_{0.2}(7 - x) > \log_{0.2}(5) \end{cases} $

$ \begin{cases} -x > -7 \\ 7 - x < 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ -x < 5 - 7 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ -x < -2 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ x > 2 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих условий: $2 < x < 7$.

Ответ: $(2; 7)$.