Номер 259, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

259. 1) $\log_5(3x + 2) \ge \log_5(x - 1);$

2) $\log_{0.8}(6x - 2) \ge \log_{0.8}(x + 5);$

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2);$

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3).$

1)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\log_{5}(3x+2) \geq \log_{5}(x-1)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство, учитывая свойства логарифмической функции.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему неравенств:

$\begin{cases} 3x > -2 \\ x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма равно 5, что больше 1 ($5 > 1$). Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 2 \geq x - 1$

$3x - x \geq -1 - 2$

$2x \geq -3$

$x \geq -1.5$

3. Объединение результатов. Необходимо найти пересечение полученного решения $x \geq -1.5$ с областью допустимых значений $x > 1$.

$\begin{cases} x > 1 \\ x \geq -1.5 \end{cases}$

Общим решением системы является $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\log_{0.8}(6x-2) \geq \log_{0.8}(x+5)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 6x - 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 6x > 2 \\ x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением условий является $x > 1/3$. ОДЗ: $x \in (1/3, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма равно 0.8, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0.8}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$6x - 2 \leq x + 5$

$6x - x \leq 5 + 2$

$5x \leq 7$

$x \leq 7/5$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x \leq 7/5$ с ОДЗ $x > 1/3$.

$\begin{cases} x > 1/3 \\ x \leq 7/5 \end{cases}$

Общим решением является интервал $1/3 < x \leq 7/5$.

Ответ: $x \in (1/3, 7/5]$.

3)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\lg(2x-1) < \lg(3x+2)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 2x > 1 \\ 3x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ x > -2/3 \end{cases}$

Пересечением условий является $x > 1/2$. ОДЗ: $x \in (1/2, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$2x - 1 < 3x + 2$

$-1 - 2 < 3x - 2x$

$-3 < x$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x > -3$ с ОДЗ $x > 1/2$.

$\begin{cases} x > 1/2 \\ x > -3 \end{cases}$

Общим решением является $x > 1/2$.

Ответ: $x \in (1/2, +\infty)$.

4)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\ln(4-2x) < \ln(x+3)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e \approx 2.718$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - 2x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 4 > 2x \\ x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является интервал $-3 < x < 2$. ОДЗ: $x \in (-3, 2)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма $e > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$4 - 2x < x + 3$

$4 - 3 < x + 2x$

$1 < 3x$

$x > 1/3$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x > 1/3$ с ОДЗ $-3 < x < 2$.

$\begin{cases} -3 < x < 2 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Общим решением является интервал $1/3 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1/3, 2)$.