Номер 254, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

254. 1) $\log_2 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$;

2) $\log_2^2 (2x) = 4 \log_2 x$

3) $\log_3 (3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324$;

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9.$

1) $ \log_{2}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:

$ \log_{2}(x^{1/3}) + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

$ \frac{1}{3}\log_{2}x + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3} $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sqrt[3]{\log_{2}x} $. Тогда $ t^3 = \log_{2}x $. Подставим в уравнение:

$ \frac{1}{3}t^3 + t = \frac{4}{3} $

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$ t^3 + 3t = 4 $

$ t^3 + 3t - 4 = 0 $

Подбором находим один из корней. Проверим $ t=1 $: $ 1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 $. Следовательно, $ t=1 $ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $ t^3 + 3t - 4 $ на $ (t-1) $:

$ (t-1)(t^2+t+4) = 0 $

Рассмотрим квадратное уравнение $ t^2+t+4=0 $. Найдем его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 $.

Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Единственным действительным решением является $ t=1 $.

Вернемся к исходной переменной:

$ \sqrt[3]{\log_{2}x} = 1 $

$ \log_{2}x = 1^3 $

$ \log_{2}x = 1 $

$ x = 2^1 = 2 $

Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x>0 $).

Ответ: 2.

2) $ \log_2^2(2x) = 4\log_2x $

ОДЗ: $ 2x > 0 $ и $ x > 0 $, что равносильно $ x > 0 $.

Используем свойство логарифма произведения $ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c $:

$ \log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 + \log_2 x)^2 = 4\log_2 x $

Сделаем замену $ t = \log_2 x $:

$ (1 + t)^2 = 4t $

$ 1 + 2t + t^2 = 4t $

$ t^2 - 2t + 1 = 0 $

Это полный квадрат: $ (t - 1)^2 = 0 $.

Отсюда $ t - 1 = 0 $, то есть $ t = 1 $.

Вернемся к замене:

$ \log_2 x = 1 $

$ x = 2^1 = 2 $

Корень $ x=2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x>0 $).

Ответ: 2.

3) $ \log_3(3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324 $

ОДЗ: $ 3^{x+1} + 3^x > 0 $. Так как $ 3^x > 0 $ для любого $ x $, то и сумма $ 3 \cdot 3^x + 3^x = 4 \cdot 3^x $ всегда положительна. Следовательно, $ x $ может быть любым действительным числом.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ 3^{x+1} + 3^x = 324 $

Вынесем $ 3^x $ за скобки:

$ 3^x(3^1 + 1) = 324 $

$ 3^x \cdot 4 = 324 $

$ 3^x = \frac{324}{4} $

$ 3^x = 81 $

Представим 81 как степень тройки: $ 81 = 3^4 $.

$ 3^x = 3^4 $

Отсюда $ x = 4 $.

Ответ: 4.

4) $ \lg(x^2) + \lg(-x) = 9 $

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительны.

1) $ x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 $

2) $ -x > 0 \Rightarrow x < 0 $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x < 0 $.

Используем свойство логарифма суммы $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:

$ \lg(x^2 \cdot (-x)) = 9 $

$ \lg(-x^3) = 9 $

По определению десятичного логарифма:

$ -x^3 = 10^9 $

$ x^3 = -10^9 $

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$ x = \sqrt[3]{-10^9} = \sqrt[3]{(-10^3)^3} = -10^3 = -1000 $

Корень $ x=-1000 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x<0 $).

Ответ: -1000.