Номер 248, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

248.1)

$ \lg (5 - x) = \frac{1}{3} \lg (35 - x^3); $

2)

$ \log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0; $

3)

$ \log_{\sqrt{5}} (4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}} (2x - 5); $

4)

$ \log_2 (3x - 6) - 1 = \log_2 (9x - 19). $

1) $\lg(5 - x) = \frac{1}{3}\lg(35 - x^3)$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ 35 - x^3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x^3 < 35 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x < \sqrt[3]{35} \end{cases} $
Поскольку $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{35} < \sqrt[3]{64}$, то $3 < \sqrt[3]{35} < 4$. Следовательно, условие $x < \sqrt[3]{35}$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (-\infty; \sqrt[3]{35})$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\lg(5 - x) = \lg((35 - x^3)^{\frac{1}{3}})$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$5 - x = \sqrt[3]{35 - x^3}$
Возведем обе части уравнения в куб:
$(5 - x)^3 = 35 - x^3$
Раскроем скобки по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 35 - x^3$
$125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$
$15x^2 - 75x + 90 = 0$
Разделим обе части на 15:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6.
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x < \sqrt[3]{35}$).
$x_1 = 2$: $2 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $2^3=8 < 35$).
$x_2 = 3$: $3 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $3^3=27 < 35$).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2, 3$.

2) $\log_2 \frac{x-5}{x+5} + \log_2(x+5) = 0$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} \frac{x-5}{x+5} > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства следует $x > -5$.
Рассмотрим первое неравенство $\frac{x-5}{x+5} > 0$. Оно выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (метод интервалов). Корни числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-5$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$, $(5; \infty)$. Знак выражения положителен на крайних интервалах.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x > -5$, получаем ОДЗ: $x \in (5; \infty)$.

Решим уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_2 \left(\frac{x-5}{x+5} \cdot (x+5)\right) = 0$
$\log_2 (x-5) = 0$
По определению логарифма ($a^c=b$):
$x-5 = 2^0$
$x-5 = 1$
$x = 6$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 5$).
$x=6$: $6 > 5$ (верно).
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $6$.

3) $\log_{\sqrt{5}}(4x-6) - 2 = \log_{\sqrt{5}}(2x-5)$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 5 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (2.5; \infty)$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число в другую:
$\log_{\sqrt{5}}(4x-6) - \log_{\sqrt{5}}(2x-5) = 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_{\sqrt{5}}\left(\frac{4x-6}{2x-5}\right) = 2$
По определению логарифма:
$\frac{4x-6}{2x-5} = (\sqrt{5})^2$
$\frac{4x-6}{2x-5} = 5$
Умножим обе части на $(2x-5)$, так как по ОДЗ $2x-5 \neq 0$:
$4x-6 = 5(2x-5)$
$4x-6 = 10x - 25$
$25-6 = 10x - 4x$
$19 = 6x$
$x = \frac{19}{6}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 2.5$).
$x = \frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6}$.
$3 \frac{1}{6} > 2.5$ (верно, так как $2.5 = 2 \frac{1}{2} = 2 \frac{3}{6}$).
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

4) $\log_2(3x-6) - 1 = \log_2(9x-19)$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 9x - 19 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x > 6 \\ 9x > 19 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{19}{9} \end{cases} $
Так как $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$, то условие $x > \frac{19}{9}$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (\frac{19}{9}; \infty)$.

Перенесем логарифмы в одну часть, а число - в другую.
$\log_2(3x-6) - \log_2(9x-19) = 1$
Используем свойство разности логарифмов:
$\log_2\left(\frac{3x-6}{9x-19}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{3x-6}{9x-19} = 2^1$
$\frac{3x-6}{9x-19} = 2$
Умножим обе части на $(9x-19)$, так как по ОДЗ $9x-19 \neq 0$:
$3x-6 = 2(9x-19)$
$3x-6 = 18x - 38$
$38 - 6 = 18x - 3x$
$32 = 15x$
$x = \frac{32}{15}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > \frac{19}{9}$).
Сравним $\frac{32}{15}$ и $\frac{19}{9}$. Приведем к общему знаменателю 45:
$\frac{32}{15} = \frac{32 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{96}{45}$
$\frac{19}{9} = \frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{95}{45}$
Так как $\frac{96}{45} > \frac{95}{45}$, то $\frac{32}{15} > \frac{19}{9}$.
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{32}{15}$.