Номер 242, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

$4^x - 9^x < 0;$

2) $5 \cdot 4^x \le 4 \cdot 5^x;$

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0;$

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} \ge 0.$

1)Решение:
Исходное неравенство: $4^x - 9^x < 0$.
Перенесем $9^x$ в правую часть: $4^x < 9^x$
Разделим обе части неравенства на $9^x$. Так как $9^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{4^x}{9^x} < 1$
Используя свойство степеней, получаем: $(\frac{4}{9})^x < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$: $(\frac{4}{9})^x < (\frac{4}{9})^0$
Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 0$
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

2)Решение:
Исходное неравенство: $5 \cdot 4^x \le 4 \cdot 5^x$.
Разделим обе части неравенства на $4 \cdot 4^x$. Так как это выражение всегда положительно, знак неравенства не изменится: $\frac{5 \cdot 4^x}{4 \cdot 4^x} \le \frac{4 \cdot 5^x}{4 \cdot 4^x}$
$\frac{5}{4} \le \frac{5^x}{4^x}$
$\frac{5}{4} \le (\frac{5}{4})^x$
Представим левую часть в виде степени: $(\frac{5}{4})^1 \le (\frac{5}{4})^x$
Так как основание степени $a = \frac{5}{4}$ больше 1, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $1 \le x$
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3)Решение:
Исходное неравенство: $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0$.
Перенесем $2^{x-3}$ в правую часть: $3^{x-3} < 2^{x-3}$
Разделим обе части неравенства на $2^{x-3}$. Так как $2^{x-3} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{3^{x-3}}{2^{x-3}} < 1$
$(\frac{3}{2})^{x-3} < 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$: $(\frac{3}{2})^{x-3} < (\frac{3}{2})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x - 3 < 0$
$x < 3$
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

4)Решение:
Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 5^{2x+1} \ge 0$.
Перенесем $5^{2x+1}$ в правую часть: $2^{2x+1} \ge 5^{2x+1}$
Разделим обе части неравенства на $5^{2x+1}$. Так как $5^{2x+1} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{2^{2x+1}}{5^{2x+1}} \ge 1$
$(\frac{2}{5})^{2x+1} \ge 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$: $(\frac{2}{5})^{2x+1} \ge (\frac{2}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $2x + 1 \le 0$
$2x \le -1$
$x \le -\frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2]$.