Номер 235, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

235.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$;

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$;

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$;

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$

Решение

Перепишем неравенство, используя свойство степеней $a^{bc} = (a^b)^c$. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $(5^x)^2 < 6 \cdot 5^x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть: $(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 6t + 5 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Графиком функции $y = t^2 - 6t + 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 6t + 5 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, решение для $t$: $1 < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 5^x$: $1 < 5^x < 5$.

Представим 1 как $5^0$ и 5 как $5^1$: $5^0 < 5^x < 5^1$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому, при переходе к неравенству для показателей, знаки неравенства сохраняются: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Решение

Перепишем $3^{2x}$ как $(3^x)^2$. Неравенство примет вид: $(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 10t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 9$.

Условие $t > 0$ выполнено.

Произведем обратную замену $t = 3^x$: $1 < 3^x < 9$.

Представим 1 и 9 в виде степеней с основанием 3: $3^0 < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому для показателей степеней неравенство сохраняется: $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$

Решение

Преобразуем неравенство. $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$.

Неравенство принимает вид: $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x > 20$.

Перенесем 20 в левую часть: $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 + 8t - 20 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-20)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 \pm 12}{2}$.

Корни: $t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Парабола $y = t^2 + 8t - 20$ с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -10$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$: $2^x > 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x > 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, следовательно $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Решение

Запишем $2^{2x}$ как $(2^x)^2$. Неравенство примет вид: $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство истинно при значениях $t$ вне интервала между корнями: $t < 1$ или $t > 2$.

Рассмотрим оба случая с учетом условия $t > 0$.

Случай 1: $0 < t < 1$.

Выполняем обратную замену: $0 < 2^x < 1$. Неравенство $0 < 2^x$ выполняется всегда. Решаем $2^x < 1$.

Представим 1 как $2^0$: $2^x < 2^0$.

Так как основание $2 > 1$, то $x < 0$.

Случай 2: $t > 2$.

Выполняем обратную замену: $2^x > 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x > 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.