Вопросы, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?

Да, при решении показательных неравенств используются те же основные методы преобразования, что и при решении показательных уравнений. К ним относятся:

1. Приведение обеих частей к одному основанию.
Например, неравенство $2^{x+1} > 8$ приводится к виду $2^{x+1} > 2^3$. Этот шаг аналогичен решению уравнения $2^{x+1} = 8$.

2. Введение новой переменной (метод замены).
Например, в неравенстве $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$ можно ввести замену $t = 2^x$, где $t > 0$. Неравенство примет вид $t^2 - 3t + 2 < 0$, которое является квадратным. Этот подход полностью повторяет метод решения соответствующего уравнения $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.

3. Логарифмирование обеих частей.
Этот метод применяется, когда основания различны и их нельзя привести к одному.

Основное отличие решения неравенств от уравнений возникает на последнем этапе. После приведения неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, мы переходим к неравенству для показателей. При этом необходимо учитывать значение основания $a$:

• если $a > 1$, то знак неравенства сохраняется: $f(x) > g(x)$.
• если $0 < a < 1$, то знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

В уравнениях же, из $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ всегда следует $f(x) = g(x)$ (при $a > 0, a \neq 1$).

Ответ: Да, основные методы преобразований (приведение к одному основанию, замена переменной) полностью совпадают. Ключевое различие появляется при переходе от неравенства с показательными функциями к неравенству для их показателей, где результат зависит от величины основания.

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.

Да, между решениями показательных и линейных неравенств есть важное сходство. Оно заключается в правиле изменения знака неравенства.

При решении линейного неравенства, если мы умножаем или делим обе его части на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Например: $-3x > 9$. Делим на -3 и меняем знак: $x < -3$.

При решении простейшего показательного неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ мы также сталкиваемся с ситуацией, когда знак неравенства может измениться. Это происходит, когда основание степени $a$ находится в интервале $(0; 1)$.

Например, решим неравенство $(\frac{1}{5})^{x-1} \geq (\frac{1}{5})^2$.

Поскольку основание $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей мы должны изменить знак на противоположный:

$x-1 \leq 2 \implies x \leq 3$.

Таким образом, правило "если основание $0 < a < 1$, то знак неравенства меняется" является прямым аналогом правила "если умножить/разделить на отрицательное число, то знак неравенства меняется". Во многих случаях решение показательного неравенства сводится к решению линейного неравенства.

Ответ: Да, сходство имеется. Оно заключается в том, что в обоих типах неравенств существует условие, при котором знак неравенства меняется на противоположный. Для линейных — это умножение/деление на отрицательное число, для показательных — основание степени, принадлежащее интервалу $(0; 1)$.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.

Да, это условие не просто учитывается, а является фундаментальным. Показательная функция $y=a^x$ по определению рассматривается только для $a > 0$ и $a \neq 1$. Это ограничение является ключевым и вот почему:

1. При $a < 0$. Если бы основание было отрицательным, например $a = -4$, то выражение $(-4)^x$ не имело бы действительных значений для многих $x$, например, для $x=1/2$ ($(-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$ не является действительным числом). Функция не была бы определена для всех действительных показателей, и сравнивать ее значения было бы невозможно или бессмысленно.

2. При $a = 0$. Выражение $0^x$ равно 0 при $x>0$ и не определено при $x \leq 0$. Это вырожденный случай, который не обладает свойствами показательной функции.

3. При $a = 1$. Выражение $1^x$ всегда равно 1. Неравенства вида $1^x > 2$ не имеют решений, а $1^x < 2$ верны для любого $x$. Это также вырожденный случай, так как функция не является строго монотонной.

Именно свойства строгой монотонности показательной функции при $a>1$ (возрастание) и $0<a<1$ (убывание) позволяют переходить от неравенства $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ к неравенству $f(x) > g(x)$ или $f(x) < g(x)$. Без условия $a>0, a \neq 1$ эти правила не работают.

Более того, если в основании стоит переменная, например, в неравенстве $(x-3)^{f(x)} > (x-3)^{g(x)}$, то при его решении мы обязаны рассмотреть два случая, исходя из этого условия:

• $x-3 > 1$ (основание больше 1)

• $0 < x-3 < 1$ (основание от 0 до 1)

Это прямое применение условия положительности и отличия от единицы основания в процессе решения.

Ответ: Да, условие положительности и отличия от единицы основания ($a > 0, a \neq 1$) является основополагающим при решении показательных неравенств, так как на нем базируются все методы их решения и сама корректность постановки задачи.