Номер 234, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

234.

1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500;$

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270;$

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001;$

4) $2^x - 2^{x-4} - 15 \le 0.$

1)

Дано:

Неравенство $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{2x}$

$5^{2x-1} = 5^{2x} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^{2x}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5 \cdot 5^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot 5^{2x}\right) > 3500$

$5 \cdot 5^{2x} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2x} > 3500$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x} \left(5 + \frac{3}{5}\right) > 3500$

Упростим выражение в скобках:

$5 + \frac{3}{5} = \frac{25}{5} + \frac{3}{5} = \frac{28}{5}$

Неравенство принимает вид:

$5^{2x} \cdot \frac{28}{5} > 3500$

Выразим $5^{2x}$:

$5^{2x} > 3500 \cdot \frac{5}{28}$

$5^{2x} > \frac{3500}{28} \cdot 5$

$5^{2x} > 125 \cdot 5$

$5^{2x} > 625$

Представим правую часть как степень числа 5:

$625 = 5^4$

Получаем показательное неравенство:

$5^{2x} > 5^4$

Так как основание степени $5 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени в левой части неравенства:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$

Подставим в неравенство:

$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x \ge 270$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

Упростим выражение в скобках:

$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

Неравенство примет вид:

$3^x \cdot \frac{10}{3} \ge 270$

Выразим $3^x$:

$3^x \ge 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^x \ge 27 \cdot 3$

$3^x \ge 81$

Представим 81 как степень числа 3:

$81 = 3^4$

Получим неравенство:

$3^x \ge 3^4$

Так как основание $3 > 1$, то переходим к неравенству для показателей:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3)

Дано:

Неравенство $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени в левой части:

$10^{x-5} = 10^x \cdot 10^{-5}$

$10^{x-2} = 10^x \cdot 10^{-2}$

Подставим в неравенство:

$10^x \cdot 10^{-5} + 10^x \cdot 10^{-2} < 1001$

Вынесем $10^x$ за скобки:

$10^x (10^{-5} + 10^{-2}) < 1001$

Упростим выражение в скобках:

$10^{-5} + 10^{-2} = \frac{1}{100000} + \frac{1}{100} = \frac{1}{100000} + \frac{1000}{100000} = \frac{1001}{100000}$

Неравенство примет вид:

$10^x \cdot \frac{1001}{100000} < 1001$

Выразим $10^x$:

$10^x < 1001 \cdot \frac{100000}{1001}$

$10^x < 100000$

Представим 100000 как степень 10:

$100000 = 10^5$

Получаем неравенство:

$10^x < 10^5$

Так как основание $10 > 1$, то знак неравенства сохраняется:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4)

Дано:

Неравенство $2^{2x} - 2^x - 4 - 15 \le 0$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Упростим неравенство:

$2^{2x} - 2^x - 19 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, $y > 0$.

Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $y$:

$y^2 - y - 19 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - y - 19 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-19)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+76}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{77}}{2}$

Корни уравнения: $y_1 = \frac{1 - \sqrt{77}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - y - 19$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется при $y$, находящемся между корнями (включая корни):

$\frac{1 - \sqrt{77}}{2} \le y \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Учтем условие $y > 0$. Так как $\sqrt{77} > \sqrt{1}=1$, то корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{77}}{2}$ является отрицательным числом. Корень $y_2 = \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$ является положительным.

Таким образом, с учетом $y>0$, решение для $y$ будет:

$0 < y \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Выполним обратную замену $y = 2^x$:

$0 < 2^x \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Остается решить неравенство:

$2^x \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x \le \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{77}}{2}\right)$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{77}}{2}\right)\right]$.