Номер 241, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

241.1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$;

2) $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$;

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \le 4 \cdot 2^{1-x} - 6$;

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$

Решение

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4^{x+2} - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Представим $4^{x+2}$ в виде степени с основанием 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2(x+2)} = (2^{x+2})^2$.

Неравенство принимает вид:

$(2^{x+2})^2 - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t + 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 9t + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $y(t) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

$1 < t < 8$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 2^{x+2} < 8$

Представим числа 1 и 8 в виде степеней с основанием 2: $1 = 2^0$ и $8 = 2^3$.

$2^0 < 2^{x+2} < 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^z$ является возрастающей. Это позволяет нам перейти к неравенству для показателей степеней:

$0 < x+2 < 3$

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$0 - 2 < x < 3 - 2$

$-2 < x < 1$

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

2) $3^{1 + \frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Решение

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется выражением в показателе степени: $x \neq 0$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать левую часть неравенства:

$3^1 \cdot 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Вынесем общий множитель $3^{\frac{1}{x}}$ за скобки:

$3^{\frac{1}{x}}(3 + 1) \le 12$

$4 \cdot 3^{\frac{1}{x}} \le 12$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^{\frac{1}{x}} \le 3$

Так как $3 = 3^1$, получаем:

$3^{\frac{1}{x}} \le 3^1$

Основание степени $3 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Мы можем сравнить показатели:

$\frac{1}{x} \le 1$

Для решения этого рационального неравенства перенесем 1 в левую часть:

$\frac{1}{x} - 1 \le 0$

$\frac{1 - x}{x} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя) — это $x=1$ и $x=0$.

Рассмотрим знаки выражения $\frac{1 - x}{x}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 1]$ и $[1, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, выражение $\frac{1 - (-1)}{-1} = -2 < 0$. Интервал является решением.

• При $x \in (0, 1]$, например $x=0.5$, выражение $\frac{1 - 0.5}{0.5} = 1 > 0$. Интервал не является решением.

• При $x \in [1, \infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{1 - 2}{2} = -0.5 < 0$. Интервал является решением.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \le 4 \cdot 2^{1-x} - 6$

Решение

Сгруппируем все члены в левой части неравенства:

$4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 - 4 \cdot 2^{1-x} + 6 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4^{1-x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 \le 0$

Заметим, что $4^{1-x} = (2^2)^{1-x} = (2^{1-x})^2$. Подставим это в неравенство:

$(2^{1-x})^2 - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^{1-x}$. Так как $t$ является значением показательной функции, $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 - 3t + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Парабола $y(t) = t^2 - 3t + 2$ с ветвями вверх принимает неположительные значения между корнями включительно.

$1 \le t \le 2$

Выполним обратную замену:

$1 \le 2^{1-x} \le 2$

Запишем 1 и 2 как степени двойки: $1 = 2^0$ и $2 = 2^1$.

$2^0 \le 2^{1-x} \le 2^1$

Поскольку основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$0 \le 1-x \le 1$

Вычтем 1 из всех частей:

$0-1 \le -x \le 1-1$

$-1 \le -x \le 0$

Умножим все части на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:

$1 \ge x \ge 0$

Что то же самое, что и $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Решение

Преобразуем $4^{x+2}$ к основанию 2: $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = (2^{x+2})^2$.

Неравенство становится:

$(2^{x+2})^2 - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$

Выполним замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Условие $t>0$ выполняется всегда.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 8 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y(t) = t^2 - 6t + 8$ с ветвями вверх отрицательна между корнями.

$2 < t < 4$

Возвращаемся к переменной $x$:

$2 < 2^{x+2} < 4$

Представим границы интервала как степени с основанием 2: $2=2^1$ и $4=2^2$.

$2^1 < 2^{x+2} < 2^2$

Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей:

$1 < x+2 < 2$

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$1-2 < x < 2-2$

$-1 < x < 0$

Ответ: $x \in (-1; 0)$.