Номер 237, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (237–242):

237.1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 4$;

2) $0,125 < 16^x$;

3) $36^{0,5x^2 - 1} \ge \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}$;

4) $125\left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}$.

1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 4$
Решение:
Приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2.
$4 = 2^2$
Неравенство принимает вид:
$2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 2^2$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\frac{x+1}{x-2} \ge 2$
Это дробно-рациональное неравенство. Перенесем 2 в левую часть:
$\frac{x+1}{x-2} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x+1 - 2(x-2)}{x-2} \ge 0$
$\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} \ge 0$
$\frac{5-x}{x-2} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
$5-x = 0 \implies x = 5$ (эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое)
$x-2 = 0 \implies x = 2$ (эта точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю)
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

Мы ищем промежутки, где выражение не отрицательно ($\ge 0$). Из схемы видно, что это интервал $(2, 5]$.
Ответ: $x \in (2, 5]$.

2) $0,125 < 16^x$
Решение:
Приведем обе части неравенства к основанию 2.
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$16 = 2^4$, поэтому $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$
Неравенство принимает вид:
$2^{-3} < 2^{4x}$
Так как основание $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$-3 < 4x$
Разделим обе части на 4:
$x > -\frac{3}{4}$
Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}, +\infty)$.

3) $36^{0,5x^2 - 1} > (\frac{1}{6})^{-2}$
Решение:
Приведем обе части неравенства к основанию 6.
$36 = 6^2$, поэтому $36^{0,5x^2 - 1} = (6^2)^{0,5x^2 - 1} = 6^{2(0,5x^2 - 1)} = 6^{x^2 - 2}$
$\frac{1}{6} = 6^{-1}$, поэтому $(\frac{1}{6})^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2$
Неравенство принимает вид:
$6^{x^2 - 2} > 6^2$
Так как основание $6 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 2 > 2$
$x^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x-2)(x+2) > 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x=-2$ и $x=2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y=x^2-4$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.

Нам нужны промежутки, где выражение положительно ($>0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

4) $125(\frac{1}{5})^{3x^2} \le (\frac{1}{25})^{-4x}$
Решение:
Приведем все множители к основанию 5.
$125 = 5^3$
$\frac{1}{5} = 5^{-1}$, поэтому $(\frac{1}{5})^{3x^2} = (5^{-1})^{3x^2} = 5^{-3x^2}$
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$, поэтому $(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{(-2) \cdot (-4x)} = 5^{8x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-3x^2} \le 5^{8x}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$5^{3-3x^2} \le 5^{8x}$
Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$3 - 3x^2 \le 8x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$0 \le 3x^2 + 8x - 3$
$3x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
График функции $y=3x^2+8x-3$ — парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Следовательно, выражение $3x^2+8x-3$ будет больше или равно нулю на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.