Страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (230—236):

230. 1) $2^x \ge 32;$ 2) $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49};$ 3) $6^{x-4} \le 36;$ 4) $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}.$

1)

Дано:

$2^x > 32$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Представим число 32 как степень с основанием 2:

$32 = 2^5$

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$2^x > 2^5$

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x > 5$

Множество решений неравенства — это все числа, большие 5.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2)

Дано:

$(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Правая часть $\frac{16}{49}$ может быть представлена как степень с основанием $\frac{4}{7}$:

$\frac{16}{49} = \frac{4^2}{7^2} = (\frac{4}{7})^2$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{4}{7})^x < (\frac{4}{7})^2$

Основание степени $a = \frac{4}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2$

Множество решений неравенства — это все числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3)

Дано:

$6^{x-4} \le 36$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 6. Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{x-4} \le 6^2$

Так как основание степени $a=6$ больше 1 ($6 > 1$), показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:

$x-4 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \le 2 + 4$

$x \le 6$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие или равные 6.

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

4)

Дано:

$(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Приведем правую часть неравенства к основанию $\frac{3}{5}$.

$\frac{27}{125} = \frac{3^3}{5^3} = (\frac{3}{5})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{5})^{x+3} > (\frac{3}{5})^3$

Основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x+3 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$x < 3 - 3$

$x < 0$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие 0.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

231.

1) $5^{1-x} < 125;$

2) $\left(\frac{3}{4}\right)^{2x+1} > \frac{27}{64};$

3) $\left(\frac{9}{2}\right)^{x+4} \ge \left(\frac{4}{81}\right)^{3+x};$

4) $\left(\frac{1}{32}\right)^{x} \le 8^{2x-1}.$

1) $5^{1-x} < 125$

Решение

Представим число 125 в виде степени с основанием 5:

$125 = 5^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$5^{1-x} < 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$1 - x < 3$

$-x < 3 - 1$

$-x < 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$

Решение

Представим дробь $\frac{27}{64}$ в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$:

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{3}{4})^{2x+1} > (\frac{3}{4})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, то показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x + 1 < 3$

$2x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} \ge (\frac{4}{81})^{3+x}$

Решение

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{81} = \frac{2^2}{9^2} = (\frac{2}{9})^2$.

Дробь $\frac{2}{9}$ является обратной к дроби $\frac{9}{2}$, то есть $\frac{2}{9} = (\frac{9}{2})^{-1}$.

Тогда правую часть неравенства можно преобразовать следующим образом:

$(\frac{4}{81})^{3+x} = ((\frac{2}{9})^2)^{3+x} = (((\frac{9}{2})^{-1})^2)^{3+x} = ((\frac{9}{2})^{-2})^{3+x} = (\frac{9}{2})^{-2(3+x)} = (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{9}{2})^{x+4} \ge (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Так как основание степени $\frac{9}{2} > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x + 4 \ge -6 - 2x$

$x + 2x \ge -6 - 4$

$3x \ge -10$

$x \ge -\frac{10}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{10}{3}; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{32})^x \le 8^{2x-1}$

Решение

Приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2.

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$8 = 2^3$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-5})^x \le (2^3)^{2x-1}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-5x} \le 2^{3(2x-1)}$

$2^{-5x} \le 2^{6x-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-5x \le 6x - 3$

$3 \le 6x + 5x$

$3 \le 11x$

$\frac{3}{11} \le x$ или $x \ge \frac{3}{11}$

Ответ: $x \in [\frac{3}{11}; +\infty)$.

232.1) $3^x \cdot 9^x \le 81$;2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x \ge 32$;3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$;4) $(2,5)^{x+4} \ge (0,16)^{x-3}$.

1)

Решение:

Решим неравенство $3^x \cdot 9^x \le 81$.

Приведем все части неравенства к одному основанию 3.

Поскольку $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, неравенство можно переписать в виде:

$3^x \cdot (3^2)^x \le 3^4$

Используя свойства степеней, упростим левую часть:

$3^x \cdot 3^{2x} \le 3^4$

$3^{x+2x} \le 3^4$

$3^{3x} \le 3^4$

Так как основание степени $a=3$ больше 1, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x \le 4$

Разделим обе части на 3:

$x \le \frac{4}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

2)

Решение:

Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x \ge 32$.

Приведем все члены к общему основанию 2.

Представим числа в виде степеней двойки: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в неравенство:

$(2^{-1})^{2x} \cdot (2^{-3})^x \ge 2^5$

Упростим левую часть, используя свойства степеней:

$2^{-2x} \cdot 2^{-3x} \ge 2^5$

$2^{-2x-3x} \ge 2^5$

$2^{-5x} \ge 2^5$

Основание степени $a=2$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$-5x \ge 5$

Разделим обе части на -5, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

3)

Решение:

Решим неравенство $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$.

Преобразуем правую часть неравенства. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50+14}{25} = \frac{64}{25}$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{64}{25})^2$

Приведем обе части к общему основанию. Заметим, что $\frac{64}{25} = (\frac{8}{5})^2$ и $\frac{8}{5} = (\frac{5}{8})^{-1}$.

Тогда правая часть равна:

$((\frac{8}{5})^2)^2 = (\frac{8}{5})^4 = ((\frac{5}{8})^{-1})^4 = (\frac{5}{8})^{-4}$

Получаем неравенство с одинаковым основанием:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{5}{8})^{-4}$

Так как основание степени $a=\frac{5}{8}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x-1 > -4$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x > -4 + 1$

$3x > -3$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

4)

Решение:

Решим неравенство $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}$.

Приведем основания к одному виду. Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{4}{25})^{x-3}$

Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$. Также $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

Преобразуем правую часть:

$(\frac{4}{25})^{x-3} = ((\frac{2}{5})^2)^{x-3} = (\frac{2}{5})^{2(x-3)} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{2(x-3)} = (\frac{5}{2})^{-2(x-3)} = (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Основание степени $a=\frac{5}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$x+4 > -2x+6$

Решим линейное неравенство:

$x + 2x > 6 - 4$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

233.

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} \le 9;$

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} \le 26;$

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} \le 315;$

4) $2^x - 2^{x-4} > 15.$

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} \le 9$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} - 2^x \cdot 2^{-2} \le 9$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x (2^2 - 2^1 + 2^{-1} - 2^{-2}) \le 9$

$2^x (4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) \le 9$

Вычислим значение выражения в скобках:

$4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$2^x \cdot \frac{9}{4} \le 9$

Разделим обе части неравенства на $\frac{9}{4}$ (так как $\frac{9}{4} > 0$, знак неравенства не меняется):

$2^x \le 9 \cdot \frac{4}{9}$

$2^x \le 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} \le 26$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней:

$(\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^1 + (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{-1} \le 26$

Вынесем общий множитель $(\frac{1}{5})^x$ за скобки:

$(\frac{1}{5})^x (\frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^{-1}) \le 26$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{1}{5} + 5 = \frac{1+25}{5} = \frac{26}{5}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$(\frac{1}{5})^x \cdot \frac{26}{5} \le 26$

Разделим обе части неравенства на $\frac{26}{5}$ (так как $\frac{26}{5} > 0$, знак неравенства не меняется):

$(\frac{1}{5})^x \le 26 \cdot \frac{5}{26}$

$(\frac{1}{5})^x \le 5$

Представим число 5 в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$:

$5 = 5^1 = ((\frac{1}{5})^{-1})^1 = (\frac{1}{5})^{-1}$

Получаем неравенство:

$(\frac{1}{5})^x \le (\frac{1}{5})^{-1}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} \le 315$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2x-4}$:

$3^{2x-4} \cdot 3^3 + 3^{2x-4} \cdot 3^2 - 3^{2x-4} \cdot 3^0 \le 315$

Вынесем $3^{2x-4}$ за скобки:

$3^{2x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

Вычислим значение выражения в скобках:

$27 + 9 - 1 = 35$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$3^{2x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части неравенства на 35 (так как $35 > 0$, знак неравенства не меняется):

$3^{2x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} \le 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 2$

$2x \le 6$

$x \le 3$

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

4) $2^x - 2^{x-4} > 15$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель $2^{x-4}$:

$2^{x-4} \cdot 2^4 - 2^{x-4} \cdot 1 > 15$

$2^{x-4}(2^4 - 1) > 15$

Вычислим значение выражения в скобках:

$16 - 1 = 15$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$2^{x-4} \cdot 15 > 15$

Разделим обе части неравенства на 15 (так как $15 > 0$, знак неравенства не меняется):

$2^{x-4} > 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием 2:

$2^{x-4} > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

234.

1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500;$

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270;$

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001;$

4) $2^x - 2^{x-4} - 15 \le 0.$

1)

Дано:

Неравенство $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{2x}$

$5^{2x-1} = 5^{2x} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^{2x}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5 \cdot 5^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot 5^{2x}\right) > 3500$

$5 \cdot 5^{2x} + \frac{3}{5} \cdot 5^{2x} > 3500$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x} \left(5 + \frac{3}{5}\right) > 3500$

Упростим выражение в скобках:

$5 + \frac{3}{5} = \frac{25}{5} + \frac{3}{5} = \frac{28}{5}$

Неравенство принимает вид:

$5^{2x} \cdot \frac{28}{5} > 3500$

Выразим $5^{2x}$:

$5^{2x} > 3500 \cdot \frac{5}{28}$

$5^{2x} > \frac{3500}{28} \cdot 5$

$5^{2x} > 125 \cdot 5$

$5^{2x} > 625$

Представим правую часть как степень числа 5:

$625 = 5^4$

Получаем показательное неравенство:

$5^{2x} > 5^4$

Так как основание степени $5 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени в левой части неравенства:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$

Подставим в неравенство:

$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x \ge 270$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

Упростим выражение в скобках:

$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

Неравенство примет вид:

$3^x \cdot \frac{10}{3} \ge 270$

Выразим $3^x$:

$3^x \ge 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^x \ge 27 \cdot 3$

$3^x \ge 81$

Представим 81 как степень числа 3:

$81 = 3^4$

Получим неравенство:

$3^x \ge 3^4$

Так как основание $3 > 1$, то переходим к неравенству для показателей:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3)

Дано:

Неравенство $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Преобразуем степени в левой части:

$10^{x-5} = 10^x \cdot 10^{-5}$

$10^{x-2} = 10^x \cdot 10^{-2}$

Подставим в неравенство:

$10^x \cdot 10^{-5} + 10^x \cdot 10^{-2} < 1001$

Вынесем $10^x$ за скобки:

$10^x (10^{-5} + 10^{-2}) < 1001$

Упростим выражение в скобках:

$10^{-5} + 10^{-2} = \frac{1}{100000} + \frac{1}{100} = \frac{1}{100000} + \frac{1000}{100000} = \frac{1001}{100000}$

Неравенство примет вид:

$10^x \cdot \frac{1001}{100000} < 1001$

Выразим $10^x$:

$10^x < 1001 \cdot \frac{100000}{1001}$

$10^x < 100000$

Представим 100000 как степень 10:

$100000 = 10^5$

Получаем неравенство:

$10^x < 10^5$

Так как основание $10 > 1$, то знак неравенства сохраняется:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4)

Дано:

Неравенство $2^{2x} - 2^x - 4 - 15 \le 0$.

Найти:

Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству.

Решение:

Упростим неравенство:

$2^{2x} - 2^x - 19 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, $y > 0$.

Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $y$:

$y^2 - y - 19 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - y - 19 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-19)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+76}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{77}}{2}$

Корни уравнения: $y_1 = \frac{1 - \sqrt{77}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - y - 19$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется при $y$, находящемся между корнями (включая корни):

$\frac{1 - \sqrt{77}}{2} \le y \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Учтем условие $y > 0$. Так как $\sqrt{77} > \sqrt{1}=1$, то корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{77}}{2}$ является отрицательным числом. Корень $y_2 = \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$ является положительным.

Таким образом, с учетом $y>0$, решение для $y$ будет:

$0 < y \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Выполним обратную замену $y = 2^x$:

$0 < 2^x \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Остается решить неравенство:

$2^x \le \frac{1 + \sqrt{77}}{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x \le \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{77}}{2}\right)$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{77}}{2}\right)\right]$.

235.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$;

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$;

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$;

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$

Решение

Перепишем неравенство, используя свойство степеней $a^{bc} = (a^b)^c$. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $(5^x)^2 < 6 \cdot 5^x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть: $(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 6t + 5 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Графиком функции $y = t^2 - 6t + 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 6t + 5 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, решение для $t$: $1 < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 5^x$: $1 < 5^x < 5$.

Представим 1 как $5^0$ и 5 как $5^1$: $5^0 < 5^x < 5^1$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому, при переходе к неравенству для показателей, знаки неравенства сохраняются: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Решение

Перепишем $3^{2x}$ как $(3^x)^2$. Неравенство примет вид: $(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 10t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 9$.

Условие $t > 0$ выполнено.

Произведем обратную замену $t = 3^x$: $1 < 3^x < 9$.

Представим 1 и 9 в виде степеней с основанием 3: $3^0 < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому для показателей степеней неравенство сохраняется: $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$

Решение

Преобразуем неравенство. $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$.

Неравенство принимает вид: $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x > 20$.

Перенесем 20 в левую часть: $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 + 8t - 20 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-20)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 \pm 12}{2}$.

Корни: $t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Парабола $y = t^2 + 8t - 20$ с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -10$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$: $2^x > 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x > 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, следовательно $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Решение

Запишем $2^{2x}$ как $(2^x)^2$. Неравенство примет вид: $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство истинно при значениях $t$ вне интервала между корнями: $t < 1$ или $t > 2$.

Рассмотрим оба случая с учетом условия $t > 0$.

Случай 1: $0 < t < 1$.

Выполняем обратную замену: $0 < 2^x < 1$. Неравенство $0 < 2^x$ выполняется всегда. Решаем $2^x < 1$.

Представим 1 как $2^0$: $2^x < 2^0$.

Так как основание $2 > 1$, то $x < 0$.

Случай 2: $t > 2$.

Выполняем обратную замену: $2^x > 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x > 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

236.1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$;

2) $2^x < 5^x$;

3) $4^{x-2} \leq 7^{x-2}$,

4) $6^{x^2-4} \geq 13^{x^2-4}$.

1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$

Разделим обе части неравенства на $11^{x+1}$. Так как $11^{x+1} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{3^{x+1}}{11^{x+1}} > 1$ По свойству степеней это можно записать как: $(\frac{3}{11})^{x+1} > 1$ Представим 1 как степень с тем же основанием: $(\frac{3}{11})^{x+1} > (\frac{3}{11})^0$ Так как основание степени $a = \frac{3}{11}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x+1 < 0$ $x < -1$

Ответ: $(-\infty; -1)$.

2) $2^x < 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется: $\frac{2^x}{5^x} < 1$ $(\frac{2}{5})^x < 1$ Запишем 1 как степень с основанием $\frac{2}{5}$: $(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$ Основание степени $a = \frac{2}{5}$ меньше 1, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный: $x > 0$

Ответ: $(0; +\infty)$.

3) $4^{x-2} \le 7^{x-2}$

Разделим обе части неравенства на $7^{x-2}$. Так как $7^{x-2} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства сохраняется: $\frac{4^{x-2}}{7^{x-2}} \le 1$ $(\frac{4}{7})^{x-2} \le 1$ Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$: $(\frac{4}{7})^{x-2} \le (\frac{4}{7})^0$ Поскольку основание степени $a = \frac{4}{7}$ меньше 1, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x-2 \ge 0$ $x \ge 2$

Ответ: $[2; +\infty)$.

4) $6^{x^2-4} \ge 13^{x^2-4}$

Разделим обе части неравенства на $13^{x^2-4}$. Так как $13^{x^2-4} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{6^{x^2-4}}{13^{x^2-4}} \ge 1$ $(\frac{6}{13})^{x^2-4} \ge 1$ Запишем 1 в виде степени с основанием $\frac{6}{13}$: $(\frac{6}{13})^{x^2-4} \ge (\frac{6}{13})^0$ Основание степени $a = \frac{6}{13}$ меньше 1, значит, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный: $x^2-4 \le 0$ Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$ Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Выражение $(x-2)(x+2)$ неположительно на промежутке между корнями. Таким образом, решением является отрезок: $-2 \le x \le 2$

Ответ: $[-2; 2]$.

Решите неравенства (237–242):

237.1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 4$;

2) $0,125 < 16^x$;

3) $36^{0,5x^2 - 1} \ge \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}$;

4) $125\left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}$.

1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 4$
Решение:
Приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2.
$4 = 2^2$
Неравенство принимает вид:
$2^{\frac{x+1}{x-2}} \ge 2^2$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\frac{x+1}{x-2} \ge 2$
Это дробно-рациональное неравенство. Перенесем 2 в левую часть:
$\frac{x+1}{x-2} - 2 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x+1 - 2(x-2)}{x-2} \ge 0$
$\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} \ge 0$
$\frac{5-x}{x-2} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:
$5-x = 0 \implies x = 5$ (эта точка входит в решение, так как неравенство нестрогое)
$x-2 = 0 \implies x = 2$ (эта точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю)
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

Мы ищем промежутки, где выражение не отрицательно ($\ge 0$). Из схемы видно, что это интервал $(2, 5]$.
Ответ: $x \in (2, 5]$.

2) $0,125 < 16^x$
Решение:
Приведем обе части неравенства к основанию 2.
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$16 = 2^4$, поэтому $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$
Неравенство принимает вид:
$2^{-3} < 2^{4x}$
Так как основание $2 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$-3 < 4x$
Разделим обе части на 4:
$x > -\frac{3}{4}$
Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}, +\infty)$.

3) $36^{0,5x^2 - 1} > (\frac{1}{6})^{-2}$
Решение:
Приведем обе части неравенства к основанию 6.
$36 = 6^2$, поэтому $36^{0,5x^2 - 1} = (6^2)^{0,5x^2 - 1} = 6^{2(0,5x^2 - 1)} = 6^{x^2 - 2}$
$\frac{1}{6} = 6^{-1}$, поэтому $(\frac{1}{6})^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2$
Неравенство принимает вид:
$6^{x^2 - 2} > 6^2$
Так как основание $6 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 2 > 2$
$x^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x-2)(x+2) > 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x=-2$ и $x=2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y=x^2-4$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.

Нам нужны промежутки, где выражение положительно ($>0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

4) $125(\frac{1}{5})^{3x^2} \le (\frac{1}{25})^{-4x}$
Решение:
Приведем все множители к основанию 5.
$125 = 5^3$
$\frac{1}{5} = 5^{-1}$, поэтому $(\frac{1}{5})^{3x^2} = (5^{-1})^{3x^2} = 5^{-3x^2}$
$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$, поэтому $(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{(-2) \cdot (-4x)} = 5^{8x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-3x^2} \le 5^{8x}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$5^{3-3x^2} \le 5^{8x}$
Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$3 - 3x^2 \le 8x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$0 \le 3x^2 + 8x - 3$
$3x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
График функции $y=3x^2+8x-3$ — парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Следовательно, выражение $3x^2+8x-3$ будет больше или равно нулю на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [\frac{1}{3}, +\infty)$.