Страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы уравнений (219—220):

$\begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27. \end{cases}$

219.1)Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 5^{x+y} = 125 \\ 3^{(x-y)^2 - 1} = 1 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, получаем: $5^{x+y} = 5^3$, из чего следует $x+y = 3$.
Теперь преобразуем второе уравнение. Так как любое число в степени 0 равно 1 ($a^0=1$), то $1 = 3^0$. Получаем: $3^{(x-y)^2 - 1} = 3^0$, из чего следует $(x-y)^2 - 1 = 0$.
Решим полученное уравнение: $(x-y)^2 = 1$. Это дает нам два возможных случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.
Таким образом, исходная система распадается на две системы линейных уравнений:

1) Первая система: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x=4$, откуда $x=2$.
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=3$, откуда $y=1$.
Первое решение: $(2; 1)$.

2) Вторая система: $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+(-1)$, что дает $2x=2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $1+y=3$, откуда $y=2$.
Второе решение: $(1; 2)$.
Ответ: $(2; 1)$, $(1; 2)$.

2)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12 \\ 6^{x+y} = 216 \end{cases} $
Начнем со второго уравнения. Так как $216 = 6^3$, получаем: $6^{x+y} = 6^3$, из чего следует $x+y = 3$.
Выразим $y$ через $x$: $y = 3-x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $3^x + 3^{3-x} = 12$
$3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$
$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, при этом $t>0$. $t + \frac{27}{t} = 12$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $t^2 + 27 = 12t$
$t^2 - 12t + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому подходят.
Вернемся к замене:
1) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x=1$. Тогда $y = 3-x = 3-1 = 2$. Получаем решение $(1; 2)$.
2) Если $t = 9$, то $3^x = 9 = 3^2$, откуда $x=2$. Тогда $y = 3-x = 3-2 = 1$. Получаем решение $(2; 1)$.
Ответ: $(1; 2)$, $(2; 1)$.

3)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 128 \\ 5^{3x-2y-3} = 1 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Приведем обе части к основанию 2. Так как $4=2^2$ и $128=2^7$, то: $(2^2)^{x+y} = 2^7$
$2^{2(x+y)} = 2^7$
$2(x+y) = 7$
$2x + 2y = 7$
Теперь преобразуем второе уравнение. Так как $1 = 5^0$: $5^{3x-2y-3} = 5^0$
$3x - 2y - 3 = 0$
$3x - 2y = 3$
Мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $(2x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 3$
$5x = 10$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение $2x+2y=7$: $2(2) + 2y = 7$
$4 + 2y = 7$
$2y = 3$
$y = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $(2; 1,5)$.

4)Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81} \\ 3^{x-y+2} = 27 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$: $3^{2x-y} = 3^{-4}$
$2x-y = -4$
Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$: $3^{x-y+2} = 3^3$
$x-y+2 = 3$
$x-y = 1$
В результате мы получили систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = -4 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$: $(2x - y) - (x - y) = -4 - 1$
$2x - y - x + y = -5$
$x = -5$
Подставим значение $x=-5$ во второе уравнение $x-y=1$: $-5 - y = 1$
$-y = 1 + 5$
$-y = 6$
$y = -6$
Ответ: $(-5; -6)$.

220. 1)

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{cases} $

1)

Дано:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с основанием 4.
$16 = 4^2$
$1 = 4^0$
Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2, \\ 4^{x+2y-1} = 4^0; \end{cases} $
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y-1 = 0; \end{cases} $
Перепишем систему в стандартном виде:
$ \begin{cases} x+y = 2, \\ x+2y = 1; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(x+2y) - (x+y) = 1 - 2$
$y = -1$
Подставим значение $y = -1$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x + (-1) = 2$
$x - 1 = 2$
$x = 3$
Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$

2)

Дано:

$ \begin{cases} 6^{3x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 6): $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.
Для второго уравнения (основание 2): $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 6^{3x-y} = 6^{1/2}, \\ 2^{y-2x} = 2^{-1/2}; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ y-2x = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Перепишем второе уравнение для удобства:
$ \begin{cases} 3x-y = \frac{1}{2}, \\ -2x+y = -\frac{1}{2}; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(3x-y) + (-2x+y) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})$
$x = 0$
Подставим значение $x=0$ во второе уравнение:
$y - 2(0) = -\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{2}$
Таким образом, решение системы: $x = 0$, $y = -1/2$.

Ответ: $(0; -1/2)$

3)

Дано:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 5): $125 = 5^3$.
Для второго уравнения (основание 7): $7 = 7^1$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 5^3, \\ 7^{3x-2y} = 7^1; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 2x+y = 3, \\ 3x-2y = 1; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3-2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x - 2(3-2x) = 1$
$3x - 6 + 4x = 1$
$7x = 7$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$:
$y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$
Таким образом, решение системы: $x = 1$, $y = 1$.

Ответ: $(1; 1)$

4)

Дано:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Приведем правые части уравнений к степеням с соответствующими основаниями.
Для первого уравнения (основание 3): $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3+1/2} = 3^{7/2}$.
Для второго уравнения (основание 2): $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{1+1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 3^{7/2}, \\ 2^{x+4y} = 2^{-3/2}; \end{cases} $
Приравниваем показатели степеней:
$ \begin{cases} 4x-3y = \frac{7}{2}, \\ x+4y = -\frac{3}{2}; \end{cases} $
Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$ \begin{cases} 8x-6y = 7, \\ 2x+8y = -3; \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при $x$ совпали:
$4(2x+8y) = 4(-3) \implies 8x+32y = -12$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 8x-6y = 7, \\ 8x+32y = -12; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(8x+32y) - (8x-6y) = -12 - 7$
$38y = -19$
$y = -\frac{19}{38} = -\frac{1}{2}$
Подставим $y = -1/2$ во второе исходное уравнение ($2x+8y = -3$):
$2x + 8(-\frac{1}{2}) = -3$
$2x - 4 = -3$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Таким образом, решение системы: $x = 1/2$, $y = -1/2$.

Ответ: $(1/2; -1/2)$

Решите уравнения (221–225):

221.1) $2^{x^2 - 6x + 0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$;

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$;

3) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2 + 2x - 11} = \left(\frac{5}{3}\right)^9$;

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}$.

1) $2^{x^2 - 6x + 0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Решение

Для решения показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.

Представим правую часть уравнения в виде степени числа 2:

$16 = 2^4$

$\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0.5}$

Следовательно, $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{0.5} = 2^{4+0.5} = 2^{4.5}$.

Тогда правая часть уравнения равна $\frac{1}{2^{4.5}} = 2^{-4.5}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2 - 6x + 0.5} = 2^{-4.5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 6x + 0.5 = -4.5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 6x + 0.5 + 4.5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 5.

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$

Решение

Приведем все числовые множители к основанию 2.

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt[5]{(2^3)^{x^2 - 3x - 5}} = 2^7$

Упростим выражение под корнем и сам корень, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$2^4 \cdot (2^{3(x^2 - 3x - 5)})^{1/5} = 2^7$

$2^4 \cdot 2^{\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$2^{4 + \frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

Приравниваем показатели степеней:

$4 + \frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 7$

Решаем полученное уравнение:

$\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 7 - 4$

$\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 3$

Разделим обе части на 3:

$\frac{x^2 - 3x - 5}{5} = 1$

$x^2 - 3x - 5 = 5$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно -10. Корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверка через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{3+7}{2} = 5$

$x_2 = \frac{3-7}{2} = -2$

Ответ: -2; 5.

3) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2 + 2x - 11} = (\frac{5}{3})^9$

Решение

Приведем все степени к одному основанию $(\frac{5}{3})$.

Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$. А $(\frac{3}{5})$ является обратной дробью к $(\frac{5}{3})$, то есть $(\frac{3}{5}) = (\frac{5}{3})^{-1}$.

Таким образом, $\frac{9}{25} = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.

Подставим это в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2 + 2x - 11} = (\frac{5}{3})^9$

Упростим левую часть, используя свойства степеней:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2 + 2x - 11)} = (\frac{5}{3})^9$

$(\frac{5}{3})^{x+1 - 2(x^2 + 2x - 11)} = (\frac{5}{3})^9$

Теперь приравниваем показатели степеней:

$x+1 - 2(x^2 + 2x - 11) = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x + 1 - 2x^2 - 4x + 22 = 9$

$-2x^2 - 3x + 23 = 9$

$-2x^2 - 3x + 23 - 9 = 0$

$-2x^2 - 3x + 14 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$2x^2 + 3x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Ответ: -3,5; 2.

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}$

Решение

Преобразуем все члены уравнения, представив их через основания 3 и 4 (или 3 и 2).

$0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$

$12 = 3 \cdot 4$, поэтому $12^{3x-1} = (3 \cdot 4)^{3x-1} = 3^{3x-1} \cdot 4^{3x-1}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$3^{x+1} \cdot 4^x = 4^{-1} \cdot 3^{3x-1} \cdot 4^{3x-1}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x-1}$ и на $4^x$.

$\frac{3^{x+1}}{3^{3x-1}} = \frac{4^{-1} \cdot 4^{3x-1}}{4^x}$

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Левая часть: $3^{(x+1) - (3x-1)} = 3^{x+1-3x+1} = 3^{-2x+2}$

Правая часть: $4^{-1 + (3x-1) - x} = 4^{-1+3x-1-x} = 4^{2x-2}$

Уравнение принимает вид:

$3^{-2x+2} = 4^{2x-2}$

Вынесем общий множитель в показателях:

$3^{2(1-x)} = 4^{2(x-1)}$

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем левую часть:

$3^{-2(x-1)} = 4^{2(x-1)}$

$\frac{1}{3^{2(x-1)}} = 4^{2(x-1)}$

$1 = 3^{2(x-1)} \cdot 4^{2(x-1)}$

$1 = (3^2 \cdot 4^2)^{x-1}$

$1 = (9 \cdot 16)^{x-1}$

$1 = 144^{x-1}$

Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю.

$x-1 = 0$

$x = 1$

Ответ: 1.

222. 1) $\sqrt{3^x - 54} - 7 \cdot \sqrt{3^x - 58} = 162;$

2) $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1};$

3) $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2};$

4) $9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}.$

1) Решим уравнение $\sqrt{3^x - 54} - 7 \cdot \sqrt{3^x - 58} = 162$.

Решение:
Обозначим ОДЗ (область допустимых значений). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$3^x - 54 \ge 0 \implies 3^x \ge 54$
$3^x - 58 \ge 0 \implies 3^x \ge 58$
Следовательно, ОДЗ определяется условием $3^x \ge 58$.

Сделаем замену. Пусть $a = \sqrt{3^x - 54}$ и $b = \sqrt{3^x - 58}$. Так как корень арифметический, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Исходное уравнение принимает вид:
$a - 7b = 162$

Рассмотрим связь между $a$ и $b$ через их квадраты:
$a^2 = 3^x - 54$
$b^2 = 3^x - 58$
Вычтем второе уравнение из первого:
$a^2 - b^2 = (3^x - 54) - (3^x - 58) = 3^x - 54 - 3^x + 58 = 4$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a - 7b = 162$
2) $a^2 - b^2 = 4$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 162 + 7b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(162 + 7b)^2 - b^2 = 4$
$162^2 + 2 \cdot 162 \cdot 7b + (7b)^2 - b^2 = 4$
$26244 + 2268b + 49b^2 - b^2 = 4$
$48b^2 + 2268b + 26244 - 4 = 0$
$48b^2 + 2268b + 26240 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $b$. Заметим, что все коэффициенты этого уравнения ($48$, $2268$, $26240$) положительные. По определению, $b = \sqrt{3^x - 58} \ge 0$.

Если $b=0$, то уравнение принимает вид $26240 = 0$, что неверно.
Если $b>0$, то все слагаемые в левой части ($48b^2$, $2268b$, $26240$) положительны, и их сумма не может быть равна нулю.

Следовательно, уравнение $48b^2 + 2268b + 26240 = 0$ не имеет неотрицательных действительных корней. Это означает, что исходное уравнение также не имеет действительных решений. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1}$.

Решение:
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$4^x + 4^{x+1} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$
Вынесем за скобки общие множители в каждой части:
$4^x(1 + 4^1) = 5^{2x-1}(5^1 - 1)$
$4^x \cdot 5 = 5^{2x-1} \cdot 4$
Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:
$5 \cdot 4^x = 4 \cdot \frac{5^{2x}}{5^1}$
$5 \cdot 4^x = \frac{4}{5} \cdot (5^2)^x$
$5 \cdot 4^x = \frac{4}{5} \cdot 25^x$
Разделим обе части на 4 и умножим на 5:
$25 \cdot 4^x = 4 \cdot 25^x$
Разделим обе части на $4 \cdot 4^x$ (это выражение не равно нулю):
$\frac{25}{4} = \frac{25^x}{4^x}$
$\frac{25}{4} = \left(\frac{25}{4}\right)^x$
Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $x=1$.

3) Решим уравнение $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2}$.

Решение:
Вынесем за скобки общие множители в левой и правой частях уравнения:
$6^x(1 + 6^1) = 2^x(1 + 2^1 + 2^2)$
$6^x(1 + 6) = 2^x(1 + 2 + 4)$
$6^x \cdot 7 = 2^x \cdot 7$
Разделим обе части на 7:
$6^x = 2^x$
Разделим обе части на $2^x$ (так как $2^x > 0$ для любого $x$):
$\frac{6^x}{2^x} = 1$
$\left(\frac{6}{2}\right)^x = 1$
$3^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием 3:
$3^x = 3^0$
Отсюда $x=0$.

Ответ: $x=0$.

4) Решим уравнение $9^x - 2^{x+0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$.

Решение:
Сначала преобразуем основания степеней: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.
$3^{2x} - 2^{x+0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3,5} + 2^{x+0,5}$
Вынесем за скобки общие множители:
$3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x+0,5}(2^3 + 1)$
$3^{2x-1}(4) = 2^{x+0,5}(8 + 1)$
$4 \cdot 3^{2x-1} = 9 \cdot 2^{x+0,5}$
Используем свойства степеней:
$4 \cdot \frac{3^{2x}}{3^1} = 9 \cdot 2^x \cdot 2^{0,5}$
$\frac{4}{3} \cdot (3^2)^x = 9 \sqrt{2} \cdot 2^x$
$\frac{4}{3} \cdot 9^x = 9 \sqrt{2} \cdot 2^x$
Разделим переменные. Перенесем степени с основанием 9 в левую часть, а степени с основанием 2 в правую, а также числовые коэффициенты.
$\frac{9^x}{2^x} = \frac{9 \sqrt{2} \cdot 3}{4}$
$\left(\frac{9}{2}\right)^x = \frac{27\sqrt{2}}{4}$
Теперь представим правую часть как степень с основанием $\frac{9}{2}$.
$\frac{27\sqrt{2}}{4} = \frac{3^3 \cdot 2^{1/2}}{2^2} = 3^3 \cdot 2^{1/2 - 2} = 3^3 \cdot 2^{-3/2}$
Мы хотим представить это в виде $\left(\frac{9}{2}\right)^y = \left(\frac{3^2}{2}\right)^y = \frac{3^{2y}}{2^y} = 3^{2y} \cdot 2^{-y}$.
Сравним выражения: $3^{2y} \cdot 2^{-y} = 3^3 \cdot 2^{-3/2}$.
Приравнивая показатели степеней при одинаковых основаниях, получаем систему:
$2y = 3 \implies y = 3/2$
$-y = -3/2 \implies y = 3/2$
Так как оба уравнения дают один и тот же результат, мы нашли показатель степени $y$.
Следовательно, $x=y=3/2$.
$\left(\frac{9}{2}\right)^x = \left(\frac{9}{2}\right)^{3/2}$
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1,5$.

Ответ: $x=1,5$.

223. 1) $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4;$

2) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1};$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$.

Преобразуем степени, используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{5^x}{5^3} - \frac{5^x}{5^4} = 16 \cdot \frac{5^x}{5^5} + 4$

$\frac{5^x}{125} - \frac{5^x}{625} = \frac{16 \cdot 5^x}{3125} + 4$

Перенесем все слагаемые с $5^x$ в левую часть:

$\frac{5^x}{125} - \frac{5^x}{625} - \frac{16 \cdot 5^x}{3125} = 4$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \left( \frac{1}{125} - \frac{1}{625} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 3125:

$5^x \left( \frac{1 \cdot 25}{125 \cdot 25} - \frac{1 \cdot 5}{625 \cdot 5} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{25}{3125} - \frac{5}{3125} - \frac{16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{25 - 5 - 16}{3125} \right) = 4$

$5^x \left( \frac{4}{3125} \right) = 4$

Разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3125}$:

$5^x = 4 \cdot \frac{3125}{4}$

$5^x = 3125$

Представим 3125 как степень числа 5:

$3125 = 5^5$

Следовательно, $5^x = 5^5$.

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

2)

Решение:

Исходное уравнение: $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$.

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2} = \frac{4^x}{2}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$4^x + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

$4^x + \frac{4^x}{2} = 3^x \cdot 3^{0,5} + 3^x \cdot 3^{-0,5}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$4^x \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = 3^x \left( 3^{0,5} + 3^{-0,5} \right)$

$4^x \left( \frac{3}{2} \right) = 3^x \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

Упростим выражение в скобках справа:

$\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Получаем уравнение:

$4^x \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

Разделим обе части на $3^x$ (так как $3^x > 0$) и умножим на $\frac{2}{3}$:

$\frac{4^x}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$

$\left(\frac{4}{3}\right)^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$.

Заметим, что $8=2^3$ и $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$.

$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

Также заметим, что $\frac{4}{3} = \frac{2^2}{(\sqrt{3})^2} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\left( \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \right)^x = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

3)

Решение:

Исходное уравнение: $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Вынесем за скобки степени с наименьшим показателем для каждого основания.

В левой части вынесем $2^{x^2-1}$: $2^{x^2+2} = 2^{x^2-1+3} = 2^{x^2-1} \cdot 2^3$.

$2^{x^2-1} (1 + 2^3) = 2^{x^2-1} (1 + 8) = 9 \cdot 2^{x^2-1}$

В правой части вынесем $3^{x^2-1}$: $3^{x^2} = 3^{x^2-1+1} = 3^{x^2-1} \cdot 3^1$.

$3^{x^2-1} (1 + 3^1) = 3^{x^2-1} (1 + 3) = 4 \cdot 3^{x^2-1}$

Уравнение принимает вид:

$9 \cdot 2^{x^2-1} = 4 \cdot 3^{x^2-1}$

Разделим обе части на $3^{x^2-1}$ (так как $3^{x^2-1} \neq 0$) и на 9:

$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-1} = \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Получаем уравнение:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x^2-1 = 2$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

4)

Решение:

Исходное уравнение: $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0$.

Для решения применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(5^{2x} - 7^x) - (35 \cdot 5^{2x} - 35 \cdot 7^x) = 0$

Вынесем общий множитель 35 из второй скобки:

$(5^{2x} - 7^x) - 35(5^{2x} - 7^x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(5^{2x} - 7^x)$ за скобки:

$(1 - 35)(5^{2x} - 7^x) = 0$

$-34(5^{2x} - 7^x) = 0$

Так как $-34 \neq 0$, то для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$5^{2x} - 7^x = 0$

$5^{2x} = 7^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем левую часть:

$(5^2)^x = 7^x$

$25^x = 7^x$

Разделим обе части уравнения на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ при любом x):

$\frac{25^x}{7^x} = 1$

$\left(\frac{25}{7}\right)^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

224. 1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3-x}};

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}};

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x;

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99.$

1)Решим уравнение $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3-x}}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть уравнения и сгруппируем слагаемые:
$(x \cdot 3^{x-1} - 3^x) + (3 \cdot 3^{\sqrt{3-x}} - x \cdot 3^{\sqrt{3-x}}) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Используем свойство $3^x = 3 \cdot 3^{x-1}$:
$3^{x-1}(x - 3) + 3^{\sqrt{3-x}}(3 - x) = 0$.
$3^{x-1}(x - 3) - 3^{\sqrt{3-x}}(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:
$(x - 3)(3^{x-1} - 3^{\sqrt{3-x}}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \le 3$).
Случай 2: $3^{x-1} - 3^{\sqrt{3-x}} = 0$.
$3^{x-1} = 3^{\sqrt{3-x}}$.
Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:
$x - 1 = \sqrt{3-x}$.
Поскольку правая часть уравнения (квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. С учетом ОДЗ, ищем корень на отрезке $[1, 3]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x - 1)^2 = (\sqrt{3-x})^2$
$x^2 - 2x + 1 = 3 - x$
$x^2 - x - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни. Корень $x = 2$ принадлежит отрезку $[1, 3]$, следовательно, является решением. Корень $x = -1$ не принадлежит отрезку $[1, 3]$ (так как $-1 < 1$), следовательно, является посторонним.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x=2$ и $x=3$.
Ответ:$2; 3$.

2)Решим уравнение $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$.
ОДЗ: $6-x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} - 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$.
Вынесем общий множитель $4^{\sqrt{6-x}}$ за скобки:
$4^{\sqrt{6-x}} (x^2 - 16) = 0$.
Так как показательная функция $4^{\sqrt{6-x}}$ всегда строго положительна ($4^y > 0$), то равенство возможно только если второй множитель равен нулю:
$x^2 - 16 = 0$.
$x^2 = 16$.
$x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \le 6$ и $-4 \le 6$).
Ответ:$-4; 4$.

3)Решим уравнение $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$.
Представим основания степеней через простые множители 2 и 3:
$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$
$18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot (3^2)^x = 2^x \cdot (3^x)^2$
$27^x = (3^3)^x = (3^x)^3$
Подставим это в уравнение:
$(2^x)^3 + 2^x \cdot (3^x)^2 = 2 \cdot (3^x)^3$.
Это однородное показательное уравнение. Так как $27^x = (3^x)^3 > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $(3^x)^3$:
$\frac{(2^x)^3}{(3^x)^3} + \frac{2^x \cdot (3^x)^2}{(3^x)^3} = \frac{2 \cdot (3^x)^3}{(3^x)^3}$
$(\frac{2}{3})^x)^3 + (\frac{2}{3})^x = 2$.
Сделаем замену $y = (\frac{2}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Получим кубическое уравнение: $y^3 + y - 2 = 0$.
Легко заметить, что $y=1$ является корнем, так как $1^3 + 1 - 2 = 0$.
Разложим левую часть на множители: $(y-1)(y^2 + y + 2) = 0$.
Рассмотрим квадратное уравнение $y^2 + y + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y=1$.
Вернемся к замене:
$(\frac{2}{3})^x = 1$.
Поскольку любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то $x=0$.
Ответ:$0$.

4)Решим уравнение $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99$.
Используем свойства степеней $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$:
$10^1 \cdot 10^{x^2} - \frac{10^1}{10^{x^2}} = 99$.
Сделаем замену $y = 10^{x^2}$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $10^{x^2} \ge 10^0 = 1$, следовательно $y \ge 1$.
Уравнение примет вид:
$10y - \frac{10}{y} = 99$.
Так как $y \ge 1$, то $y \ne 0$. Умножим обе части на $y$:
$10y^2 - 10 = 99y$
$10y^2 - 99y - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-99)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-2}{20} = -0.1$.
$y_2 = \frac{99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{200}{20} = 10$.
Проверим корни с учетом условия $y \ge 1$.
$y_1 = -0.1$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$, поэтому это посторонний корень.
$y_2 = 10$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Вернемся к замене:
$10^{x^2} = 10$.
$10^{x^2} = 10^1$.
$x^2 = 1$.
$x = \pm 1$.
Ответ:$-1; 1$.