Номер 221, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (221–225):

221.1) $2^{x^2 - 6x + 0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$;

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$;

3) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2 + 2x - 11} = \left(\frac{5}{3}\right)^9$;

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}$.

1) $2^{x^2 - 6x + 0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Решение

Для решения показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.

Представим правую часть уравнения в виде степени числа 2:

$16 = 2^4$

$\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0.5}$

Следовательно, $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{0.5} = 2^{4+0.5} = 2^{4.5}$.

Тогда правая часть уравнения равна $\frac{1}{2^{4.5}} = 2^{-4.5}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2 - 6x + 0.5} = 2^{-4.5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 6x + 0.5 = -4.5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 6x + 0.5 + 4.5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 5.

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$

Решение

Приведем все числовые множители к основанию 2.

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt[5]{(2^3)^{x^2 - 3x - 5}} = 2^7$

Упростим выражение под корнем и сам корень, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$2^4 \cdot (2^{3(x^2 - 3x - 5)})^{1/5} = 2^7$

$2^4 \cdot 2^{\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$2^{4 + \frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

Приравниваем показатели степеней:

$4 + \frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 7$

Решаем полученное уравнение:

$\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 7 - 4$

$\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5} = 3$

Разделим обе части на 3:

$\frac{x^2 - 3x - 5}{5} = 1$

$x^2 - 3x - 5 = 5$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 3, произведение равно -10. Корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверка через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{3+7}{2} = 5$

$x_2 = \frac{3-7}{2} = -2$

Ответ: -2; 5.

3) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2 + 2x - 11} = (\frac{5}{3})^9$

Решение

Приведем все степени к одному основанию $(\frac{5}{3})$.

Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$. А $(\frac{3}{5})$ является обратной дробью к $(\frac{5}{3})$, то есть $(\frac{3}{5}) = (\frac{5}{3})^{-1}$.

Таким образом, $\frac{9}{25} = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.

Подставим это в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2 + 2x - 11} = (\frac{5}{3})^9$

Упростим левую часть, используя свойства степеней:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2 + 2x - 11)} = (\frac{5}{3})^9$

$(\frac{5}{3})^{x+1 - 2(x^2 + 2x - 11)} = (\frac{5}{3})^9$

Теперь приравниваем показатели степеней:

$x+1 - 2(x^2 + 2x - 11) = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x + 1 - 2x^2 - 4x + 22 = 9$

$-2x^2 - 3x + 23 = 9$

$-2x^2 - 3x + 23 - 9 = 0$

$-2x^2 - 3x + 14 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$2x^2 + 3x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$

Ответ: -3,5; 2.

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}$

Решение

Преобразуем все члены уравнения, представив их через основания 3 и 4 (или 3 и 2).

$0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$

$12 = 3 \cdot 4$, поэтому $12^{3x-1} = (3 \cdot 4)^{3x-1} = 3^{3x-1} \cdot 4^{3x-1}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$3^{x+1} \cdot 4^x = 4^{-1} \cdot 3^{3x-1} \cdot 4^{3x-1}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x-1}$ и на $4^x$.

$\frac{3^{x+1}}{3^{3x-1}} = \frac{4^{-1} \cdot 4^{3x-1}}{4^x}$

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Левая часть: $3^{(x+1) - (3x-1)} = 3^{x+1-3x+1} = 3^{-2x+2}$

Правая часть: $4^{-1 + (3x-1) - x} = 4^{-1+3x-1-x} = 4^{2x-2}$

Уравнение принимает вид:

$3^{-2x+2} = 4^{2x-2}$

Вынесем общий множитель в показателях:

$3^{2(1-x)} = 4^{2(x-1)}$

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем левую часть:

$3^{-2(x-1)} = 4^{2(x-1)}$

$\frac{1}{3^{2(x-1)}} = 4^{2(x-1)}$

$1 = 3^{2(x-1)} \cdot 4^{2(x-1)}$

$1 = (3^2 \cdot 4^2)^{x-1}$

$1 = (9 \cdot 16)^{x-1}$

$1 = 144^{x-1}$

Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю.

$x-1 = 0$

$x = 1$

Ответ: 1.