Номер 215, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

215.
1) $3^{x^2 + 1} + 3^{x^2 - 1} = 270;$

2) $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280;$

3) $2^{x^2 + x - 6} - 2^{x^2 + x - 9} = 56;$

4) $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950.$

1)

Дано:

$3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270$

Найти:

$x$

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$3^{x^2} \cdot 3^1 + 3^{x^2} \cdot 3^{-1} = 270$

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$3^{x^2} \left(3 + \frac{1}{3}\right) = 270$

Упростим выражение в скобках:

$3^{x^2} \left(\frac{9+1}{3}\right) = 270$

$3^{x^2} \cdot \frac{10}{3} = 270$

Выразим $3^{x^2}$:

$3^{x^2} = 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^{x^2} = 27 \cdot 3$

$3^{x^2} = 81$

Представим 81 как степень 3:

$3^{x^2} = 3^4$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 4$

Найдем корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

Ответ: $\pm 2$.

2)

Дано:

$2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280$

Найти:

$x$

Решение:

Приведем все степени к основанию 2:

$2^{12x-1} - (2^2)^{6x-1} + (2^3)^{4x-1} - (2^4)^{3x-1} = 1280$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, $2^{12x-4}$:

$2^{12x-4}(2^3 - 2^2 + 2^1 - 2^0) = 1280$

Упростим выражение в скобках:

$2^{12x-4}(8 - 4 + 2 - 1) = 1280$

$2^{12x-4} \cdot 5 = 1280$

Выразим $2^{12x-4}$:

$2^{12x-4} = \frac{1280}{5}$

$2^{12x-4} = 256$

Представим 256 как степень 2:

$2^{12x-4} = 2^8$

Приравняем показатели степеней:

$12x - 4 = 8$

$12x = 12$

$x = 1$

Ответ: $1$.

3)

Дано:

$2^{x^2+x-6} - 2^{x^2+x-9} = 56$

Найти:

$x$

Решение:

Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^{n}$, преобразуем левую часть уравнения. Вынесем за скобки член с наименьшим показателем $2^{x^2+x-9}$:

$2^{(x^2+x-9)+3} - 2^{x^2+x-9} = 56$

$2^{x^2+x-9} \cdot 2^3 - 2^{x^2+x-9} \cdot 1 = 56$

Вынесем общий множитель $2^{x^2+x-9}$:

$2^{x^2+x-9}(2^3 - 1) = 56$

Упростим выражение в скобках:

$2^{x^2+x-9}(8 - 1) = 56$

$2^{x^2+x-9} \cdot 7 = 56$

Выразим $2^{x^2+x-9}$:

$2^{x^2+x-9} = \frac{56}{7}$

$2^{x^2+x-9} = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^{x^2+x-9} = 2^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2+x-9 = 3$

$x^2+x-12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Корнями являются $-4$ и $3$.

$x_1 = -4, x_2 = 3$

Ответ: $-4; 3$.

4)

Дано:

$10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950$

Найти:

$x$

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$

$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{5^x}{5}$

$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{2^x}{4}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$5^x \cdot 2^x - \frac{5^x}{5} \cdot \frac{2^x}{4} = 950$

Сгруппируем члены:

$(5^x \cdot 2^x) - \frac{5^x \cdot 2^x}{20} = 950$

Заменим $5^x \cdot 2^x$ на $10^x$:

$10^x - \frac{10^x}{20} = 950$

Вынесем общий множитель $10^x$ за скобки:

$10^x \left(1 - \frac{1}{20}\right) = 950$

Упростим выражение в скобках:

$10^x \cdot \frac{19}{20} = 950$

Выразим $10^x$:

$10^x = 950 \cdot \frac{20}{19}$

$10^x = 50 \cdot 20$

$10^x = 1000$

Представим 1000 как степень 10:

$10^x = 10^3$

Приравняем показатели степеней:

$x=3$

Ответ: $3$.