Номер 213, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

213.1) $2^{x+3} = 64;$

2) $3^{\frac{x}{2}} = 27;$

3) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216;$

4) $\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[5]{343} .$

1) Дано:
$2^{x+3} = 64$
Найти:
$x$
Решение:
Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. Основание в левой части равно 2. Представим число 64 как степень числа 2.
$64 = 2^6$
Подставим это в исходное уравнение:
$2^{x+3} = 2^6$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+3 = 6$
Теперь решим полученное линейное уравнение, перенеся 3 в правую часть:
$x = 6 - 3$
$x = 3$
Ответ: 3

2) Дано:
$3^{\frac{x}{2}} = 27$
Найти:
$x$
Решение:
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Число 27 можно представить как степень числа 3:
$27 = 3^3$
Теперь уравнение выглядит так:
$3^{\frac{x}{2}} = 3^3$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$\frac{x}{2} = 3$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Ответ: 6

3) Дано:
$\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$
Найти:
$x$
Решение:
Сначала упростим левую часть уравнения, используя свойства корней и степеней.
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = \sqrt{2^x \cdot 3^x}$
Далее используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = \sqrt{(2 \cdot 3)^x} = \sqrt{6^x}$
Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем, используя формулу $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$:
$\sqrt{6^x} = (6^x)^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{x}{2}}$
Уравнение принимает вид:
$6^{\frac{x}{2}} = 216$
Приведем правую часть к основанию 6.
$216 = 6^3$
Получаем уравнение:
$6^{\frac{x}{2}} = 6^3$
Приравниваем показатели, так как основания одинаковы:
$\frac{x}{2} = 3$
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Ответ: 6

4) Дано:
$\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[5]{343}$
Найти:
$x$
Решение:
Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием. Основанием будет 7.
Преобразуем левую часть, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{7^x} = 7^{\frac{x}{4}}$
Теперь преобразуем правую часть. Сначала представим число 343 как степень 7:
$343 = 7^3$
Тогда правая часть равна:
$\sqrt[5]{343} = \sqrt[5]{7^3} = 7^{\frac{3}{5}}$
Теперь исходное уравнение можно записать так:
$7^{\frac{x}{4}} = 7^{\frac{3}{5}}$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:
$\frac{x}{4} = \frac{3}{5}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{3}{5} \cdot 4$
$x = \frac{12}{5}$
(Это значение также можно записать в виде десятичной дроби: $x = 2.4$)
Ответ: $\frac{12}{5}$