Номер 218, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

218. Решите уравнение графическим способом:

1) $2^x = 3;$

2) $0,2^x = 5;$

3) $6^x = -1;$

4) $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4;$

5) $7^{-x} = -2;$

6) $4^{x-1} = 4,4.$

1) $2^x = 3$

Для решения уравнения $2^x = 3$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 3$. Абсцисса точки пересечения этих графиков является решением уравнения.

График функции $y = 2^x$ — это показательная функция, возрастающая, проходящая через точку $(0, 1)$.
График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0, 3)$.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки — это и есть решение уравнения. Из графика видно, что значение $x$ находится между 1 и 2. Точное значение равно $\log_2 3$.

Ответ: $x = \log_2 3$.

2) $0.2^x = 5$

Для решения уравнения $0.2^x = 5$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = 0.2^x$ и $y = 5$. Абсцисса точки пересечения этих графиков является решением уравнения. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, поэтому уравнение можно переписать как $(5^{-1})^x = 5$, или $5^{-x} = 5^1$.

График функции $y = 0.2^x$ — это показательная функция, убывающая, проходящая через точку $(0, 1)$.
График функции $y = 5$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0, 5)$.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(-1, 5)$. Следовательно, решение уравнения — абсцисса этой точки.

Ответ: $x = -1$.

3) $6^x = -1$

Для решения уравнения $6^x = -1$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = 6^x$ и $y = -1$.

График функции $y = 6^x$ — это показательная функция. Так как основание $6 > 0$, то значения функции всегда положительны, то есть $6^x > 0$ для любого $x$. График полностью лежит в верхней полуплоскости.
График функции $y = -1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0, -1)$. График полностью лежит в нижней полуплоскости.

Поскольку графики функций $y = 6^x$ и $y = -1$ не пересекаются, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4$

Для решения уравнения $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ и $y = 4$.

График функции $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ — это график показательной функции $y = (\frac{1}{6})^x$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси абсцисс. Это убывающая функция.
График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится между -2 и -1. Точное значение $x = -1 - \log_6 4$.

Ответ: $x = -1 - \log_6 4$.

5) $7^{-x} = -2$

Для решения уравнения $7^{-x} = -2$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = 7^{-x}$ и $y = -2$.

Функция $y = 7^{-x}$ может быть записана как $y = (\frac{1}{7})^x$. Это показательная функция. Так как основание $\frac{1}{7} > 0$, то значения функции всегда положительны, то есть $7^{-x} > 0$ для любого $x$. График полностью лежит в верхней полуплоскости.
График функции $y = -2$ — это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0, -2)$. График полностью лежит в нижней полуплоскости.

Поскольку графики функций $y = 7^{-x}$ и $y = -2$ не пересекаются, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

6) $4^{x-1} = 4.4$

Для решения уравнения $4^{x-1} = 4.4$ графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = 4^{x-1}$ и $y = 4.4$.

График функции $y = 4^{x-1}$ — это график показательной функции $y = 4^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Это возрастающая функция.
График функции $y = 4.4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки немного больше 2. Точное значение $x = 1 + \log_4(4.4)$.

Ответ: $x = 1 + \log_4(4.4)$.