Номер 222, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

222. 1) $\sqrt{3^x - 54} - 7 \cdot \sqrt{3^x - 58} = 162;$

2) $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1};$

3) $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2};$

4) $9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}.$

1) Решим уравнение $\sqrt{3^x - 54} - 7 \cdot \sqrt{3^x - 58} = 162$.

Решение:
Обозначим ОДЗ (область допустимых значений). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$3^x - 54 \ge 0 \implies 3^x \ge 54$
$3^x - 58 \ge 0 \implies 3^x \ge 58$
Следовательно, ОДЗ определяется условием $3^x \ge 58$.

Сделаем замену. Пусть $a = \sqrt{3^x - 54}$ и $b = \sqrt{3^x - 58}$. Так как корень арифметический, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Исходное уравнение принимает вид:
$a - 7b = 162$

Рассмотрим связь между $a$ и $b$ через их квадраты:
$a^2 = 3^x - 54$
$b^2 = 3^x - 58$
Вычтем второе уравнение из первого:
$a^2 - b^2 = (3^x - 54) - (3^x - 58) = 3^x - 54 - 3^x + 58 = 4$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a - 7b = 162$
2) $a^2 - b^2 = 4$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 162 + 7b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(162 + 7b)^2 - b^2 = 4$
$162^2 + 2 \cdot 162 \cdot 7b + (7b)^2 - b^2 = 4$
$26244 + 2268b + 49b^2 - b^2 = 4$
$48b^2 + 2268b + 26244 - 4 = 0$
$48b^2 + 2268b + 26240 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $b$. Заметим, что все коэффициенты этого уравнения ($48$, $2268$, $26240$) положительные. По определению, $b = \sqrt{3^x - 58} \ge 0$.

Если $b=0$, то уравнение принимает вид $26240 = 0$, что неверно.
Если $b>0$, то все слагаемые в левой части ($48b^2$, $2268b$, $26240$) положительны, и их сумма не может быть равна нулю.

Следовательно, уравнение $48b^2 + 2268b + 26240 = 0$ не имеет неотрицательных действительных корней. Это означает, что исходное уравнение также не имеет действительных решений. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1}$.

Решение:
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$4^x + 4^{x+1} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$
Вынесем за скобки общие множители в каждой части:
$4^x(1 + 4^1) = 5^{2x-1}(5^1 - 1)$
$4^x \cdot 5 = 5^{2x-1} \cdot 4$
Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:
$5 \cdot 4^x = 4 \cdot \frac{5^{2x}}{5^1}$
$5 \cdot 4^x = \frac{4}{5} \cdot (5^2)^x$
$5 \cdot 4^x = \frac{4}{5} \cdot 25^x$
Разделим обе части на 4 и умножим на 5:
$25 \cdot 4^x = 4 \cdot 25^x$
Разделим обе части на $4 \cdot 4^x$ (это выражение не равно нулю):
$\frac{25}{4} = \frac{25^x}{4^x}$
$\frac{25}{4} = \left(\frac{25}{4}\right)^x$
Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $x=1$.

3) Решим уравнение $6^x + 6^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2}$.

Решение:
Вынесем за скобки общие множители в левой и правой частях уравнения:
$6^x(1 + 6^1) = 2^x(1 + 2^1 + 2^2)$
$6^x(1 + 6) = 2^x(1 + 2 + 4)$
$6^x \cdot 7 = 2^x \cdot 7$
Разделим обе части на 7:
$6^x = 2^x$
Разделим обе части на $2^x$ (так как $2^x > 0$ для любого $x$):
$\frac{6^x}{2^x} = 1$
$\left(\frac{6}{2}\right)^x = 1$
$3^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием 3:
$3^x = 3^0$
Отсюда $x=0$.

Ответ: $x=0$.

4) Решим уравнение $9^x - 2^{x+0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$.

Решение:
Сначала преобразуем основания степеней: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.
$3^{2x} - 2^{x+0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3,5} + 2^{x+0,5}$
Вынесем за скобки общие множители:
$3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x+0,5}(2^3 + 1)$
$3^{2x-1}(4) = 2^{x+0,5}(8 + 1)$
$4 \cdot 3^{2x-1} = 9 \cdot 2^{x+0,5}$
Используем свойства степеней:
$4 \cdot \frac{3^{2x}}{3^1} = 9 \cdot 2^x \cdot 2^{0,5}$
$\frac{4}{3} \cdot (3^2)^x = 9 \sqrt{2} \cdot 2^x$
$\frac{4}{3} \cdot 9^x = 9 \sqrt{2} \cdot 2^x$
Разделим переменные. Перенесем степени с основанием 9 в левую часть, а степени с основанием 2 в правую, а также числовые коэффициенты.
$\frac{9^x}{2^x} = \frac{9 \sqrt{2} \cdot 3}{4}$
$\left(\frac{9}{2}\right)^x = \frac{27\sqrt{2}}{4}$
Теперь представим правую часть как степень с основанием $\frac{9}{2}$.
$\frac{27\sqrt{2}}{4} = \frac{3^3 \cdot 2^{1/2}}{2^2} = 3^3 \cdot 2^{1/2 - 2} = 3^3 \cdot 2^{-3/2}$
Мы хотим представить это в виде $\left(\frac{9}{2}\right)^y = \left(\frac{3^2}{2}\right)^y = \frac{3^{2y}}{2^y} = 3^{2y} \cdot 2^{-y}$.
Сравним выражения: $3^{2y} \cdot 2^{-y} = 3^3 \cdot 2^{-3/2}$.
Приравнивая показатели степеней при одинаковых основаниях, получаем систему:
$2y = 3 \implies y = 3/2$
$-y = -3/2 \implies y = 3/2$
Так как оба уравнения дают один и тот же результат, мы нашли показатель степени $y$.
Следовательно, $x=y=3/2$.
$\left(\frac{9}{2}\right)^x = \left(\frac{9}{2}\right)^{3/2}$
$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1,5$.

Ответ: $x=1,5$.