Номер 227, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

227.1 $\begin{cases} 3^{x+y} + 81^x = 82, \\ 3y^2 - x = 2; \end{cases}$

2 $\begin{cases} 5^{-x} \cdot 5^{9-5y} = 5, \\ y^2 - x = -2. \end{cases}$

1)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $\begin{cases}3^{x+y} + 81^x = 82, \\3y^2 - x = 2\end{cases}$. Так как $81 = 3^4$, то $81^x = (3^4)^x = 3^{4x}$. Уравнение принимает вид $3^{x+y} + 3^{4x} = 82$.

Заметим, что правая часть первого уравнения $82$ может быть представлена как сумма степеней тройки: $82 = 81 + 1 = 3^4 + 3^0$. Поскольку функция $f(t)=3^t$ является строго возрастающей, можно предположить, что слагаемые в левой части равны $3^4$ и $3^0$ в некотором порядке. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $3^{x+y} = 1$ и $3^{4x} = 81$.

Из уравнения $3^{4x} = 81$, которое равносильно $3^{4x} = 3^4$, следует, что $4x=4$, откуда $x=1$.

Из уравнения $3^{x+y} = 1$, которое равносильно $3^{x+y} = 3^0$, следует, что $x+y=0$. Подставив $x=1$, получим $1+y=0$, откуда $y=-1$.

Проверим найденную пару $(1, -1)$, подставив ее во второе уравнение исходной системы $3y^2 - x = 2$.

Подстановка дает: $3(-1)^2 - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ является верным. Следовательно, $(1, -1)$ — решение системы.

Случай 2: $3^{x+y} = 81$ и $3^{4x} = 1$.

Из уравнения $3^{4x} = 1$, или $3^{4x} = 3^0$, следует, что $4x=0$, откуда $x=0$.

Из уравнения $3^{x+y} = 81$, или $3^{x+y} = 3^4$, следует, что $x+y=4$. Подставив $x=0$, получим $0+y=4$, то есть $y=4$.

Проверим пару $(0, 4)$ по второму уравнению системы $3y^2 - x = 2$.

Подстановка дает: $3(4)^2 - 0 = 3 \cdot 16 = 48$. Равенство $48=2$ неверно. Следовательно, $(0, 4)$ не является решением.

Ответ: $(1, -1)$.

2)

Решение

Рассмотрим систему $\begin{cases}5^{-x} \cdot 5^{9-5y} = 5, \\y^2 - x = -2\end{cases}$.

Упростим первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-x + 9 - 5y} = 5^1$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $-x + 9 - 5y = 1$. Это уравнение можно преобразовать к виду $x + 5y = 8$.

Теперь решаем систему, состоящую из полученного линейного уравнения и второго уравнения исходной системы:

$\begin{cases}x + 5y = 8 \\y^2 - x = -2\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 8 - 5y$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $y^2 - (8 - 5y) = -2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y^2 + 5y - 8 = -2$, что приводит к квадратному уравнению $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней $y_1+y_2 = -5$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -6$. Отсюда легко найти корни: $y_1=1$ и $y_2=-6$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$.

Если $y_1=1$, то $x_1 = 8 - 5(1) = 3$. Первое решение: $(3, 1)$.

Если $y_2=-6$, то $x_2 = 8 - 5(-6) = 8 + 30 = 38$. Второе решение: $(38, -6)$.

Ответ: $(3, 1), (38, -6)$.