Номер 229, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

229.1)

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y}=x-y, \\ 2^y+11=3 \cdot 2^x; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 4^{x-y}+4^{\frac{x+y}{2}}=5, \\ 3 \cdot 4^x+4^y=16. \end{cases}$

229.1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2+y} = x-y, \\ 2^y + 11 = 3 \cdot 2^x \end{cases}$

Из первого уравнения системы $\sqrt{x^2+y} = x-y$ следует, что его правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. Таким образом, получаем условие (область допустимых значений):

$x - y \ge 0 \implies x \ge y$.

Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 + y \ge 0$.

Возведем обе части первого уравнения в квадрат при условии $x \ge y$:

$(\sqrt{x^2+y})^2 = (x-y)^2$

$x^2 + y = x^2 - 2xy + y^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$y^2 - 2xy - y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y - 2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $y = 0$

2) $y - 2x - 1 = 0 \implies y = 2x + 1$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $y = 0$

Подставим $y = 0$ во второе уравнение системы $2^y + 11 = 3 \cdot 2^x$:

$2^0 + 11 = 3 \cdot 2^x$

$1 + 11 = 3 \cdot 2^x$

$12 = 3 \cdot 2^x$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Получили возможное решение $(2, 0)$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям ОДЗ.

$x \ge y \implies 2 \ge 0$. Верно.

$x^2 + y \ge 0 \implies 2^2 + 0 = 4 \ge 0$. Верно.

Проверим подстановкой в исходную систему:

Первое уравнение: $\sqrt{2^2 + 0} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x-y = 2-0 = 2$. Равенство $2=2$ выполняется.

Второе уравнение: $2^0 + 11 = 1+11 = 12$. Правая часть: $3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Равенство $12=12$ выполняется.

Следовательно, $(2, 0)$ является решением системы.

Случай 2: $y = 2x + 1$

Подставим $y = 2x + 1$ во второе уравнение системы $2^y + 11 = 3 \cdot 2^x$:

$2^{2x+1} + 11 = 3 \cdot 2^x$

$2 \cdot 2^{2x} + 11 = 3 \cdot 2^x$

$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 11 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 - 3t + 11 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 9 - 88 = -79$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система уравнений не имеет решений.

Единственное решение системы - это решение, полученное в первом случае.

Ответ: $(2, 0)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 4^{x-y} + 4^{\frac{x+y}{2}} = 5, \\ 3 \cdot 4^x + 4^y = 16. \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 4^x$ и $b = 4^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Выразим члены первого уравнения через $a$ и $b$:

$4^{x-y} = \frac{4^x}{4^y} = \frac{a}{b}$

$4^{\frac{x+y}{2}} = (4^{x+y})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4^x \cdot 4^y} = \sqrt{ab}$

Система уравнений в новых переменных примет вид:

$\begin{cases} \frac{a}{b} + \sqrt{ab} = 5, \\ 3a + b = 16. \end{cases}$

Для решения этой системы введем еще одну замену. Пусть $c = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и $d = \sqrt{ab}$. Очевидно, $c > 0$ и $d > 0$.

Тогда первое уравнение системы принимает вид $c^2 + d = 5$, откуда $d = 5 - c^2$.

Так как $d > 0$, то $5 - c^2 > 0$, что означает $c^2 < 5$, или $0 < c < \sqrt{5}$.

Выразим $a$ и $b$ через $c$ и $d$:

$c^2 = a/b$ и $d^2 = ab$. Перемножив их, получим $c^2 d^2 = a^2$, откуда $a = cd$ (так как $a,c,d > 0$).

Разделив второе на первое, получим $d^2/c^2 = b^2$, откуда $b = d/c$ (так как $b,c,d > 0$).

Подставим эти выражения для $a$ и $b$ во второе уравнение системы $3a + b = 16$:

$3(cd) + \frac{d}{c} = 16$

Теперь подставим сюда $d = 5 - c^2$:

$3c(5 - c^2) + \frac{5 - c^2}{c} = 16$

Умножим обе части уравнения на $c$ (так как $c \neq 0$):

$3c^2(5 - c^2) + (5 - c^2) = 16c$

$15c^2 - 3c^4 + 5 - c^2 - 16c = 0$

$-3c^4 + 14c^2 - 16c + 5 = 0$

$3c^4 - 14c^2 + 16c - 5 = 0$

Можно заметить, что $c=1$ является корнем этого уравнения: $3(1)^4 - 14(1)^2 + 16(1) - 5 = 3 - 14 + 16 - 5 = 0$. Разделив многочлен на $(c-1)$ дважды (так как $c=1$ - корень кратности 2), получим:

$(c-1)^2(3c^2 + 6c - 5) = 0$

Отсюда получаем корни:

1) $(c-1)^2 = 0 \implies c = 1$.

2) $3c^2 + 6c - 5 = 0$. Решим это квадратное уравнение:

$c = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(3)(-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 60}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{6} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{3}$.

Мы получили три возможных значения для $c$: $c_1=1$, $c_2 = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}$ и $c_3 = \frac{-3 - 2\sqrt{6}}{3}$.

Проверим, удовлетворяют ли они условию $0 < c < \sqrt{5}$.

Корень $c_3$ отрицателен, поэтому он является посторонним.

Корни $c_1=1$ и $c_2 = \frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$ удовлетворяют условию $0 < c < \sqrt{5}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $c = 1$

$d = 5 - c^2 = 5 - 1^2 = 4$.

$a = cd = 1 \cdot 4 = 4$.

$b = d/c = 4/1 = 4$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$4^x = a = 4 \implies x=1$.

$4^y = b = 4 \implies y=1$.

Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $c = \frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}$

$d = 5 - c^2 = 5 - \left(\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 5 - \frac{9 - 12\sqrt{6} + 24}{9} = \frac{45 - 33 + 12\sqrt{6}}{9} = \frac{12 + 12\sqrt{6}}{9} = \frac{4 + 4\sqrt{6}}{3}$.

$a = cd = \left(\frac{-3 + 2\sqrt{6}}{3}\right) \left(\frac{4 + 4\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{-12 - 12\sqrt{6} + 8\sqrt{6} + 48}{9} = \frac{36 - 4\sqrt{6}}{9}$.

$b = \frac{d}{c} = \frac{(4 + 4\sqrt{6})/3}{(-3 + 2\sqrt{6})/3} = \frac{4(1+\sqrt{6})(2\sqrt{6}+3)}{(2\sqrt{6}-3)(2\sqrt{6}+3)} = \frac{4(15+5\sqrt{6})}{15} = \frac{4(3+\sqrt{6})}{3}$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$4^x = a = \frac{36 - 4\sqrt{6}}{9} \implies x = \log_4\left(\frac{36 - 4\sqrt{6}}{9}\right) = \log_4\left(\frac{4(9-\sqrt{6})}{9}\right) = 1 + \log_4\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{9}\right)$.

$4^y = b = \frac{4(3+\sqrt{6})}{3} \implies y = \log_4\left(\frac{4(3+\sqrt{6})}{3}\right) = \log_4(4) + \log_4\left(1+\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 1 + \log_4\left(1+\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

Ответ: $(1, 1)$, $\left(1 + \log_4\left(1 - \frac{\sqrt{6}}{9}\right), 1 + \log_4\left(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\right)$.