Номер 231, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

231.

1) $5^{1-x} < 125;$

2) $\left(\frac{3}{4}\right)^{2x+1} > \frac{27}{64};$

3) $\left(\frac{9}{2}\right)^{x+4} \ge \left(\frac{4}{81}\right)^{3+x};$

4) $\left(\frac{1}{32}\right)^{x} \le 8^{2x-1}.$

1) $5^{1-x} < 125$

Решение

Представим число 125 в виде степени с основанием 5:

$125 = 5^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$5^{1-x} < 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$1 - x < 3$

$-x < 3 - 1$

$-x < 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$

Решение

Представим дробь $\frac{27}{64}$ в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$:

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{3}{4})^{2x+1} > (\frac{3}{4})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, то показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x + 1 < 3$

$2x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} \ge (\frac{4}{81})^{3+x}$

Решение

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{81} = \frac{2^2}{9^2} = (\frac{2}{9})^2$.

Дробь $\frac{2}{9}$ является обратной к дроби $\frac{9}{2}$, то есть $\frac{2}{9} = (\frac{9}{2})^{-1}$.

Тогда правую часть неравенства можно преобразовать следующим образом:

$(\frac{4}{81})^{3+x} = ((\frac{2}{9})^2)^{3+x} = (((\frac{9}{2})^{-1})^2)^{3+x} = ((\frac{9}{2})^{-2})^{3+x} = (\frac{9}{2})^{-2(3+x)} = (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{9}{2})^{x+4} \ge (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Так как основание степени $\frac{9}{2} > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x + 4 \ge -6 - 2x$

$x + 2x \ge -6 - 4$

$3x \ge -10$

$x \ge -\frac{10}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{10}{3}; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{32})^x \le 8^{2x-1}$

Решение

Приведем обе части неравенства к одному основанию, в данном случае к 2.

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$8 = 2^3$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-5})^x \le (2^3)^{2x-1}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-5x} \le 2^{3(2x-1)}$

$2^{-5x} \le 2^{6x-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-5x \le 6x - 3$

$3 \le 6x + 5x$

$3 \le 11x$

$\frac{3}{11} \le x$ или $x \ge \frac{3}{11}$

Ответ: $x \in [\frac{3}{11}; +\infty)$.