Номер 232, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

232.1) $3^x \cdot 9^x \le 81$;2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x \ge 32$;3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$;4) $(2,5)^{x+4} \ge (0,16)^{x-3}$.

1)

Решение:

Решим неравенство $3^x \cdot 9^x \le 81$.

Приведем все части неравенства к одному основанию 3.

Поскольку $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, неравенство можно переписать в виде:

$3^x \cdot (3^2)^x \le 3^4$

Используя свойства степеней, упростим левую часть:

$3^x \cdot 3^{2x} \le 3^4$

$3^{x+2x} \le 3^4$

$3^{3x} \le 3^4$

Так как основание степени $a=3$ больше 1, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x \le 4$

Разделим обе части на 3:

$x \le \frac{4}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

2)

Решение:

Решим неравенство $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x \ge 32$.

Приведем все члены к общему основанию 2.

Представим числа в виде степеней двойки: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в неравенство:

$(2^{-1})^{2x} \cdot (2^{-3})^x \ge 2^5$

Упростим левую часть, используя свойства степеней:

$2^{-2x} \cdot 2^{-3x} \ge 2^5$

$2^{-2x-3x} \ge 2^5$

$2^{-5x} \ge 2^5$

Основание степени $a=2$ больше 1, поэтому показательная функция является возрастающей. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$-5x \ge 5$

Разделим обе части на -5, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

3)

Решение:

Решим неравенство $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$.

Преобразуем правую часть неравенства. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50+14}{25} = \frac{64}{25}$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{64}{25})^2$

Приведем обе части к общему основанию. Заметим, что $\frac{64}{25} = (\frac{8}{5})^2$ и $\frac{8}{5} = (\frac{5}{8})^{-1}$.

Тогда правая часть равна:

$((\frac{8}{5})^2)^2 = (\frac{8}{5})^4 = ((\frac{5}{8})^{-1})^4 = (\frac{5}{8})^{-4}$

Получаем неравенство с одинаковым основанием:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{5}{8})^{-4}$

Так как основание степени $a=\frac{5}{8}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x-1 > -4$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x > -4 + 1$

$3x > -3$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

4)

Решение:

Решим неравенство $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}$.

Приведем основания к одному виду. Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{4}{25})^{x-3}$

Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$. Также $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

Преобразуем правую часть:

$(\frac{4}{25})^{x-3} = ((\frac{2}{5})^2)^{x-3} = (\frac{2}{5})^{2(x-3)} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{2(x-3)} = (\frac{5}{2})^{-2(x-3)} = (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Основание степени $a=\frac{5}{2}$ больше 1, поэтому показательная функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$x+4 > -2x+6$

Решим линейное неравенство:

$x + 2x > 6 - 4$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.