Номер 228, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

228.1)

$\begin{cases} 2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6, \\ 2^x + 2^y = 17; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3^{\frac{x-y}{2}} + 3^{x+y} = 12, \\ 3^x + 3^{-y} = 10. \end{cases}$

1)

Дано:

$\begin{cases} 2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6 \\ 2^x + 2^y = 17\end{cases}$

Найти:

$x, y$

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{\frac{x+y}{4}} + 2^{\frac{x+y}{2}} = 6$.

Сделаем замену. Пусть $a = 2^{\frac{x+y}{4}}$. Так как основание степени 2, то $a > 0$.

Тогда $2^{\frac{x+y}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x+y}{4}} = (2^{\frac{x+y}{4}})^2 = a^2$.

Подставим замену в первое уравнение:

$a + a^2 = 6$

$a^2 + a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$.

Так как $a > 0$, корень $a_2 = -3$ не является решением.

Следовательно, $a = 2$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^{\frac{x+y}{4}} = 2$

$2^{\frac{x+y}{4}} = 2^1$

$\frac{x+y}{4} = 1$

$x+y = 4$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $2^x + 2^y = 17$.

Из полученного соотношения $x+y=4$ выразим $y$: $y = 4-x$.

Подставим это во второе уравнение:

$2^x + 2^{4-x} = 17$

$2^x + \frac{2^4}{2^x} = 17$

$2^x + \frac{16}{2^x} = 17$

Сделаем еще одну замену. Пусть $b = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $b>0$.

$b + \frac{16}{b} = 17$

Умножим обе части уравнения на $b$ (так как $b \ne 0$):

$b^2 + 16 = 17b$

$b^2 - 17b + 16 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни $b_1 = 1$ и $b_2 = 16$. Оба корня положительны и подходят.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 1$.

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Тогда $y = 4-x = 4-0 = 4$.

Получили решение $(0, 4)$.

Случай 2: $b = 16$.

$2^x = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4$.

Тогда $y = 4-x = 4-4 = 0$.

Получили решение $(4, 0)$.

Система является симметричной относительно $x$ и $y$, поэтому наличие двух симметричных решений является ожидаемым.

Ответ: $(0, 4), (4, 0)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} 3^{\frac{x-y}{2}} + 3^{x+y} = 12 \\ 3^x + 3^{-y} = 10\end{cases}$

Найти:

$x, y$

Решение:

Сделаем замену переменных. Пусть $u = 3^x$ и $v = 3^{-y}$. Так как показательные функции всегда положительны, $u > 0$ и $v > 0$.

Перепишем уравнения системы в новых переменных.

Второе уравнение: $u + v = 10$.

Для первого уравнения преобразуем его члены:

$3^{\frac{x-y}{2}} = 3^{\frac{x+(-y)}{2}} = \sqrt{3^{x+(-y)}} = \sqrt{3^x \cdot 3^{-y}} = \sqrt{uv}$.

$3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y = 3^x \cdot (3^{-y})^{-1} = u \cdot v^{-1} = \frac{u}{v}$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид: $\sqrt{uv} + \frac{u}{v} = 12$.

Получаем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 10 \\ \sqrt{uv} + \frac{u}{v} = 12\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 10 - v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sqrt{(10-v)v} + \frac{10-v}{v} = 12$

$\sqrt{10v - v^2} = 12 - \frac{10-v}{v} = \frac{12v - (10-v)}{v} = \frac{13v - 10}{v}$

Для существования корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $10v - v^2 \ge 0 \implies v(10-v) \ge 0$. Так как $v>0$, то $10-v \ge 0 \implies v \le 10$.

Также, поскольку левая часть (квадратный корень) неотрицательна, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $\frac{13v-10}{v} \ge 0$. Так как $v>0$, то $13v-10 \ge 0 \implies v \ge \frac{10}{13}$.

Итак, для $v$ должно выполняться условие $\frac{10}{13} \le v \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$10v - v^2 = \left(\frac{13v-10}{v}\right)^2 = \frac{169v^2 - 260v + 100}{v^2}$

Умножим обе части на $v^2$ (так как $v \ne 0$):

$v^2(10v - v^2) = 169v^2 - 260v + 100$

$10v^3 - v^4 = 169v^2 - 260v + 100$

$v^4 - 10v^3 + 169v^2 - 260v + 100 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 100. Проверим $v=1$:

$1^4 - 10(1)^3 + 169(1)^2 - 260(1) + 100 = 1 - 10 + 169 - 260 + 100 = 270 - 270 = 0$.

Значит, $v=1$ является корнем. Этот корень удовлетворяет условию $\frac{10}{13} \le 1 \le 10$.

Найдем соответствующее значение $u$: $u = 10 - v = 10 - 1 = 9$.

Проверим, удовлетворяют ли другие возможные корни условиям. Разделив многочлен на $(v-1)$, получим: $v^3 - 9v^2 + 160v - 100 = 0$. Пусть $f(v) = v^3 - 9v^2 + 160v - 100$. Производная $f'(v) = 3v^2 - 18v + 160$ имеет отрицательный дискриминант ($D = 18^2 - 4 \cdot 3 \cdot 160 < 0$) и положительный старший коэффициент, следовательно $f'(v) > 0$ для всех $v$. Это значит, что функция $f(v)$ строго возрастает и имеет не более одного реального корня. Так как $f(0) = -100 < 0$ и $f(1) = 1-9+160-100 = 52 > 0$, единственный вещественный корень $v_0$ находится в интервале $(0, 1)$. Однако, мы установили, что для решения $v$ должно выполняться $v \ge \frac{10}{13}$. Значение $f(\frac{10}{13}) > 0$, поэтому корень $v_0 \in (0, \frac{10}{13})$. Этот корень не удовлетворяет условию неотрицательности правой части уравнения $\frac{13v-10}{v} \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, единственным решением для $v$ является $v=1$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$u = 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

$v = 3^{-y} = 1 \implies 3^{-y} = 3^0 \implies -y = 0 \implies y = 0$.

Получили единственное решение $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.