Номер 233, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

233.

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} \le 9;$

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} \le 26;$

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} \le 315;$

4) $2^x - 2^{x-4} > 15.$

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} \le 9$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} - 2^x \cdot 2^{-2} \le 9$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x (2^2 - 2^1 + 2^{-1} - 2^{-2}) \le 9$

$2^x (4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) \le 9$

Вычислим значение выражения в скобках:

$4 - 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$2^x \cdot \frac{9}{4} \le 9$

Разделим обе части неравенства на $\frac{9}{4}$ (так как $\frac{9}{4} > 0$, знак неравенства не меняется):

$2^x \le 9 \cdot \frac{4}{9}$

$2^x \le 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} \le 26$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней:

$(\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^1 + (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{-1} \le 26$

Вынесем общий множитель $(\frac{1}{5})^x$ за скобки:

$(\frac{1}{5})^x (\frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^{-1}) \le 26$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{1}{5} + (\frac{1}{5})^{-1} = \frac{1}{5} + 5 = \frac{1+25}{5} = \frac{26}{5}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$(\frac{1}{5})^x \cdot \frac{26}{5} \le 26$

Разделим обе части неравенства на $\frac{26}{5}$ (так как $\frac{26}{5} > 0$, знак неравенства не меняется):

$(\frac{1}{5})^x \le 26 \cdot \frac{5}{26}$

$(\frac{1}{5})^x \le 5$

Представим число 5 в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$:

$5 = 5^1 = ((\frac{1}{5})^{-1})^1 = (\frac{1}{5})^{-1}$

Получаем неравенство:

$(\frac{1}{5})^x \le (\frac{1}{5})^{-1}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} \le 315$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2x-4}$:

$3^{2x-4} \cdot 3^3 + 3^{2x-4} \cdot 3^2 - 3^{2x-4} \cdot 3^0 \le 315$

Вынесем $3^{2x-4}$ за скобки:

$3^{2x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

Вычислим значение выражения в скобках:

$27 + 9 - 1 = 35$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$3^{2x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части неравенства на 35 (так как $35 > 0$, знак неравенства не меняется):

$3^{2x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} \le 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 2$

$2x \le 6$

$x \le 3$

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

4) $2^x - 2^{x-4} > 15$

Решение

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель $2^{x-4}$:

$2^{x-4} \cdot 2^4 - 2^{x-4} \cdot 1 > 15$

$2^{x-4}(2^4 - 1) > 15$

Вычислим значение выражения в скобках:

$16 - 1 = 15$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$2^{x-4} \cdot 15 > 15$

Разделим обе части неравенства на 15 (так как $15 > 0$, знак неравенства не меняется):

$2^{x-4} > 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием 2:

$2^{x-4} > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.