Номер 240, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

240. 1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \geq 0;$

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \leq 0;$

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0;$

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0.$

1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \ge 0$

Решение
Данное неравенство является квадратным относительно $5^x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
После замены исходное неравенство принимает вид:
$t^2 - 2t - 15 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 15 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.
Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 \ge 0$ выполняется при $t \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем, что решением является $t \ge 5$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$5^x \ge 5$
$5^x \ge 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:
$x \ge 1$
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Решение
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 13^x$. Учитывая, что $13^x > 0$, получаем $t > 0$.
Неравенство примет вид:
$t^2 - 14t + 13 \le 0$
Найдем корни уравнения $t^2 - 14t + 13 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 13$.
Парабола $y = t^2 - 14t + 13$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 14t + 13 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $1 \le t \le 13$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Произведем обратную замену:
$1 \le 13^x \le 13$
Представим 1 и 13 как степени с основанием 13:
$13^0 \le 13^x \le 13^1$
Так как основание $13 > 1$, то знак неравенства сохраняется:
$0 \le x \le 1$
Ответ: $x \in [0; 1]$.

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0$

Решение
Преобразуем неравенство, приведя степени к одному основанию 3:
$3^x \cdot 3^2 + (3^2)^{x+1} - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 3^{2x+2} - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 3^{2x} \cdot 3^2 - 810 > 0$
$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^x)^2 - 810 > 0$
Разделим все члены неравенства на 9:
$3^x + (3^x)^2 - 90 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 90 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 + t - 90 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = 9$, $t_2 = -10$.
Решением неравенства $t^2 + t - 90 > 0$ является объединение промежутков $t < -10$ и $t > 9$.
С учетом условия $t > 0$, получаем $t > 9$.
Выполним обратную замену:
$3^x > 9$
$3^x > 3^2$
Так как основание $3 > 1$, то $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Решение
Заметим, что $4^{\cos x} = (2^2)^{\cos x} = (2^{\cos x})^2$.
Сделаем замену. Пусть $t = 2^{\cos x}$.
Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $2^{-1} \le 2^{\cos x} \le 2^1$, следовательно, $\frac{1}{2} \le t \le 2$.
Неравенство принимает вид:
$2t^2 - 3t + 1 < 0$
Найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, значит, один корень $t_1 = 1$. Второй корень $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
Парабола $y = 2t^2 - 3t + 1$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 3t + 1 < 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{2} < t < 1$.
Это решение полностью входит в область допустимых значений $t$ ($\frac{1}{2} \le t \le 2$).
Вернемся к переменной $x$:
$\frac{1}{2} < 2^{\cos x} < 1$
$2^{-1} < 2^{\cos x} < 2^0$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$-1 < \cos x < 0$
Решим это двойное тригонометрическое неравенство.
Неравенство $\cos x < 0$ выполняется во второй и третьей четвертях, то есть для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Неравенство $\cos x > -1$ выполняется для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = -1$, то есть $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что решением является интервал от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ с выколотой точкой $\pi$.
Это можно записать в виде объединения двух интервалов.
Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.