Номер 236, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

236.1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$;

2) $2^x < 5^x$;

3) $4^{x-2} \leq 7^{x-2}$,

4) $6^{x^2-4} \geq 13^{x^2-4}$.

1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$

Разделим обе части неравенства на $11^{x+1}$. Так как $11^{x+1} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{3^{x+1}}{11^{x+1}} > 1$ По свойству степеней это можно записать как: $(\frac{3}{11})^{x+1} > 1$ Представим 1 как степень с тем же основанием: $(\frac{3}{11})^{x+1} > (\frac{3}{11})^0$ Так как основание степени $a = \frac{3}{11}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x+1 < 0$ $x < -1$

Ответ: $(-\infty; -1)$.

2) $2^x < 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется: $\frac{2^x}{5^x} < 1$ $(\frac{2}{5})^x < 1$ Запишем 1 как степень с основанием $\frac{2}{5}$: $(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$ Основание степени $a = \frac{2}{5}$ меньше 1, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный: $x > 0$

Ответ: $(0; +\infty)$.

3) $4^{x-2} \le 7^{x-2}$

Разделим обе части неравенства на $7^{x-2}$. Так как $7^{x-2} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства сохраняется: $\frac{4^{x-2}}{7^{x-2}} \le 1$ $(\frac{4}{7})^{x-2} \le 1$ Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$: $(\frac{4}{7})^{x-2} \le (\frac{4}{7})^0$ Поскольку основание степени $a = \frac{4}{7}$ меньше 1, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x-2 \ge 0$ $x \ge 2$

Ответ: $[2; +\infty)$.

4) $6^{x^2-4} \ge 13^{x^2-4}$

Разделим обе части неравенства на $13^{x^2-4}$. Так как $13^{x^2-4} > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится: $\frac{6^{x^2-4}}{13^{x^2-4}} \ge 1$ $(\frac{6}{13})^{x^2-4} \ge 1$ Запишем 1 в виде степени с основанием $\frac{6}{13}$: $(\frac{6}{13})^{x^2-4} \ge (\frac{6}{13})^0$ Основание степени $a = \frac{6}{13}$ меньше 1, значит, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный: $x^2-4 \le 0$ Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$ Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Выражение $(x-2)(x+2)$ неположительно на промежутке между корнями. Таким образом, решением является отрезок: $-2 \le x \le 2$

Ответ: $[-2; 2]$.