Номер 238, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

238.1) $2^{x^2+2x-3} - 8 \cdot 2^x > 0;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} > 5^{-x};$

3) $2^{x^2+12} \le 64 \cdot 2^{5x};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}.$

1)

Решение:

Предполагается, что в условии имеется опечатка и неравенство должно выглядеть как $2^{x^2+2x-3} - 8 \cdot 2^x > 0$. Решение приведено для этого варианта.

Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:

$2^{x^2+2x-3} > 8 \cdot 2^x$

Представим число 8 как степень 2, то есть $8 = 2^3$:

$2^{x^2+2x-3} > 2^3 \cdot 2^x$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:

$2^{x^2+2x-3} > 2^{x+3}$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2+2x-3 > x+3$

Переносим все члены в левую часть и упрощаем:

$x^2 + 2x - x - 3 - 3 > 0$

$x^2 + x - 6 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

2)

Решение:

Преобразуем обе части неравенства к одному основанию 5.

$(\frac{1}{5})^{x^2} > 5^{-x}$

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, левая часть примет вид:

$(5^{-1})^{x^2} > 5^{-x}$

$5^{-x^2} > 5^{-x}$

Поскольку основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$-x^2 > -x$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 < x$

Перенесем $x$ в левую часть:

$x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-1) < 0$

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=1$. Графиком функции $y=x^2-x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3)

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

$2^{x^2+12} \le 64 \cdot 2^{5x}$

Представим 64 как степень 2: $64 = 2^6$.

$2^{x^2+12} \le 2^6 \cdot 2^{5x}$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:

$2^{x^2+12} \le 2^{6+5x}$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2+12 \le 6+5x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 5x + 12 - 6 \le 0$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y=x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

4)

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

$8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}$

Представим 8 и 0,5 как степени 2: $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$2^3 \cdot 2^{x^2-3x} < (2^{-1})^{-1}$

Упростим обе части, используя свойства степеней:

$2^{3 + x^2 - 3x} < 2^{(-1) \cdot (-1)}$

$2^{x^2 - 3x + 3} < 2^1$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$x^2 - 3x + 3 < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y=x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (1; 2)$.