Номер 244, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (244–248):

244. 1) $\log_7 x=2;$ 2) $\log_{\frac{2}{3}} x=3;$ 3) $\log_5 x=-3;$ 4) $\log_{\frac{4}{7}} x=-2.$

1) Дано:
Уравнение $\log_7 x = 2$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$ (при условиях $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$).
В данном уравнении основание $a=7$ и значение логарифма $c=2$.
Следовательно, мы можем найти $x$ следующим образом:
$x = 7^2$
$x = 49$
Проверим условие $x > 0$: $49 > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $49$.

2) Дано:
Уравнение $\log_{\frac{2}{3}} x = 3$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, $x$ равен основанию логарифма, возведенному в степень, равную значению логарифма.
В данном случае основание равно $\frac{2}{3}$, а степень равна $3$.
$x = \left(\frac{2}{3}\right)^3$
$x = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{8}{27} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{8}{27}$.

3) Дано:
Уравнение $\log_5 x = -3$.
Найти:
$x$.
Решение:
Используя определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, где $a=5$ и $c=-3$, получаем:
$x = 5^{-3}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$x = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{1}{125} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{1}{125}$.

4) Дано:
Уравнение $\log_{\frac{4}{7}} x = -2$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, $x$ равен основанию $\frac{4}{7}$, возведенному в степень $-2$.
$x = \left(\frac{4}{7}\right)^{-2}$
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$x = \left(\frac{7}{4}\right)^2$
$x = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{49}{16} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{49}{16}$.