Номер 246, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

246.

1) $\log_2(x^2 - 2x) = 3$;

2) $\log_{\frac{1}{5}}(4x+x^2) = -1$;

3) $\log_{0,5}(x^3+1) = -1$;

4) $\lg(7x-x^2) = 1$.

1)

Дано:

$\log_2(x^2 - 2x) = 3$

Найти:

$x$

Решение:

По определению логарифма $\log_a b = c$ равносильно $a^c = b$. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x-2) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решим исходное уравнение, используя определение логарифма:

$x^2 - 2x = 2^3$

$x^2 - 2x = 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x > 2$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, также является решением.

Ответ: -2; 4.

2)

Дано:

$\log_{\frac{1}{5}}(4x + x^2) = -1$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$4x + x^2 > 0$

$x(4 + x) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:

$4x + x^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$

$4x + x^2 = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x < -4$, следовательно, также является решением.

Ответ: -5; 1.

3)

Дано:

$\log_{0.5}(x^3 + 1) = -1$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^3 + 1 > 0$

$x^3 > -1$

$x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

Решим уравнение, используя определение логарифма. Заметим, что $0.5 = \frac{1}{2}$.

$x^3 + 1 = (0.5)^{-1}$

$x^3 + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

$x^3 + 1 = 2$

$x^3 = 2 - 1$

$x^3 = 1$

$x = \sqrt[3]{1} = 1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ.

Корень $x = 1$ удовлетворяет условию $x > -1$, следовательно, является решением.

Ответ: 1.

4)

Дано:

$\lg(7x - x^2) = 1$

Найти:

$x$

Решение:

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Уравнение можно переписать как $\log_{10}(7x - x^2) = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$7x - x^2 > 0$

$x(7 - x) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (0; 7)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:

$7x - x^2 = 10^1$

$7x - x^2 = 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 7$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(0; 7)$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = 5$ принадлежит интервалу $(0; 7)$, следовательно, также является решением.

Ответ: 2; 5.