Номер 245, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

245. 1) $\log_{\frac{1}{8}}(x-4)=-1$;

2) $\log_{2,5}(x+2)=1$;

3) $\lg x=-2$;

4) $\ln x=1$.

1) Решить уравнение $\log_{\frac{1}{8}}(x-4)=-1$.

Для решения используем основное логарифмическое тождество: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это свойство к данному уравнению: $x-4 = (\frac{1}{8})^{-1}$

Вычислим правую часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$

Теперь уравнение принимает вид: $x-4 = 8$

Решаем полученное линейное уравнение: $x = 8 + 4$ $x = 12$

Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. $x - 4 > 0$ $x > 4$

Полученный корень $x=12$ удовлетворяет условию $12 > 4$, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $12$.

2) Решить уравнение $\log_{2,5}(x+2)=1$.

Используя определение логарифма ($b = a^c$): $x+2 = (2,5)^1$

$x+2 = 2,5$

Решаем уравнение: $x = 2,5 - 2$ $x = 0,5$

Проверим ОДЗ: $x+2 > 0$ $x > -2$

Корень $x=0,5$ удовлетворяет условию $0,5 > -2$.

Ответ: $0,5$.

3) Решить уравнение $\lg x = -2$.

Символ $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$. Уравнение можно переписать в виде: $\log_{10} x = -2$

По определению логарифма: $x = 10^{-2}$

Вычисляем значение: $x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$

ОДЗ для $\lg x$: $x > 0$

Корень $x=0,01$ удовлетворяет условию $0,01 > 0$.

Ответ: $0,01$.

4) Решить уравнение $\ln x = 1$.

Символ $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$ (число Эйлера): $\ln x = \log_e x$. Уравнение можно переписать в виде: $\log_e x = 1$

По определению логарифма: $x = e^1$ $x = e$

ОДЗ для $\ln x$: $x > 0$

Число $e \approx 2,718$, что больше нуля. Следовательно, корень $x=e$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $e$.