Номер 249, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

249. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x - y = 8, \\ \log_3 x + \log_3 y = 2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x - y = 14, \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\ x + y = 20; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \lg x - \lg y = 0; \\ 2x - y = 10. \end{cases}$

1)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} x - y = 8 \\ \log_3 x + \log_3 y = 2 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому:

$x > 0$

$y > 0$

Теперь преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_3(xy) = 2$

По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:

$xy = 3^2$

$xy = 9$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 8 \\ xy = 9 \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 8 + y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(8 + y)y = 9$

$8y + y^2 = 9$

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Используя теорему Виета, находим корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = -9$

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($y > 0$).

Корень $y_1 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Корень $y_2 = -9$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Таким образом, единственное подходящее значение для $y$ - это $1$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 8 + y = 8 + 1 = 9$

Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Выполним проверку, подставив пару $(9; 1)$ в исходную систему:

$ \begin{cases} 9 - 1 = 8 \\ \log_3 9 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(9; 1)$.

2)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} x - y = 14 \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -5 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(xy) = -5$

По определению логарифма:

$xy = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x - y = 14 \\ xy = 32 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $x$:

$x = 14 + y$

Подставляем во второе уравнение:

$(14 + y)y = 32$

$y^2 + 14y - 32 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -16$

Согласно ОДЗ ($y>0$), корень $y_2 = -16$ является посторонним.

Следовательно, $y = 2$.

Находим $x$:

$x = 14 + 2 = 16$

Значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверка:

$ \begin{cases} 16 - 2 = 14 \\ \log_{\frac{1}{2}} 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2^4 + \log_{2^{-1}} 2^1 = -4 - 1 = -5 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(16; 2)$.

3)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1 \\ x + y = 20 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_4\left(\frac{x}{y}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 4^1 = 4$

$x = 4y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$4y + y = 20$

$5y = 20$

$y = 4$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Находим $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 4 = 16$

Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверка:

$ \begin{cases} \log_4 16 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1 \\ 16 + 4 = 20 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(16; 4)$.

4)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 0 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)

Преобразуем первое уравнение:

$\lg x = \lg y$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = y$

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$2x - x = 10$

$x = 10$

Поскольку $x = y$, то $y = 10$.

Оба значения, $x = 10$ и $y = 10$, удовлетворяют ОДЗ.

Проверка:

$ \begin{cases} \lg 10 - \lg 10 = 1 - 1 = 0 \\ 2(10) - 10 = 20 - 10 = 10 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(10; 10)$.