Номер 247, страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

247.

1) $log_{3.2}(2-x) = log_{3.2}(3x+6);$

2) $log_{0.8}(1+2x)=log_{0.8}(4x-10);$

3) $log_{2}(x-6)+log_{2}(x-8)=3;$

4) $log_{8}(x-2)-log_{8}(x-3)=\frac{1}{3}.$

1) $ \log_{3.2}(2-x) = \log_{3.2}(3x+6) $

Решение:

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля. $ \begin{cases} 2-x > 0 \\ 3x+6 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < 2 \\ 3x > -6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $ Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2; 2)$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $ 2 - x = 3x + 6 $

Решим полученное линейное уравнение: $ 2 - 6 = 3x + x $ $ -4 = 4x $ $ x = -1 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений. Так как $-2 < -1 < 2$, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $ -1 $.

2) $ \log_{0.8}(1+2x) = \log_{0.8}(4x-10) $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $ \begin{cases} 1+2x > 0 \\ 4x-10 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x > -1 \\ 4x > 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 2.5$. Итак, ОДЗ: $x \in (2.5; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны: $ 1 + 2x = 4x - 10 $

Решим уравнение: $ 1 + 10 = 4x - 2x $ $ 11 = 2x $ $ x = 5.5 $

Проверим, принадлежит ли корень $x = 5.5$ ОДЗ. Условие $5.5 > 2.5$ выполняется, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $ 5.5 $.

3) $ \log_{2}(x-6) + \log_{2}(x-8) = 3 $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x-6 > 0 \\ x-8 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 6 \\ x > 8 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 8$. Итак, ОДЗ: $x \in (8; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$. $ \log_{2}((x-6)(x-8)) = 3 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b $), преобразуем уравнение: $ (x-6)(x-8) = 2^3 $ $ x^2 - 8x - 6x + 48 = 8 $ $ x^2 - 14x + 40 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 14, произведение равно 40. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 10$. Или через дискриминант: $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 = 6^2 $. $ x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 6}{2} $ $ x_1 = \frac{14-6}{2} = 4 $ $ x_2 = \frac{14+6}{2} = 10 $

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x > 8$). Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 > 8$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 > 8$.

Ответ: $ 10 $.

4) $ \log_{8}(x-2) - \log_{8}(x-3) = \frac{1}{3} $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 3$. Итак, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})$. $ \log_{8}\left(\frac{x-2}{x-3}\right) = \frac{1}{3} $

По определению логарифма: $ \frac{x-2}{x-3} = 8^{\frac{1}{3}} $ Так как $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, получаем: $ \frac{x-2}{x-3} = 2 $

Решим полученное уравнение: $ x-2 = 2(x-3) $ $ x-2 = 2x - 6 $ $ 6 - 2 = 2x - x $ $ x = 4 $

Проверим корень на принадлежность ОДЗ ($x > 3$). Корень $x = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Ответ: $ 4 $.