Страница 118 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (244–248):

244. 1) $\log_7 x=2;$ 2) $\log_{\frac{2}{3}} x=3;$ 3) $\log_5 x=-3;$ 4) $\log_{\frac{4}{7}} x=-2.$

1) Дано:
Уравнение $\log_7 x = 2$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$ (при условиях $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$).
В данном уравнении основание $a=7$ и значение логарифма $c=2$.
Следовательно, мы можем найти $x$ следующим образом:
$x = 7^2$
$x = 49$
Проверим условие $x > 0$: $49 > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $49$.

2) Дано:
Уравнение $\log_{\frac{2}{3}} x = 3$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, $x$ равен основанию логарифма, возведенному в степень, равную значению логарифма.
В данном случае основание равно $\frac{2}{3}$, а степень равна $3$.
$x = \left(\frac{2}{3}\right)^3$
$x = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{8}{27} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{8}{27}$.

3) Дано:
Уравнение $\log_5 x = -3$.
Найти:
$x$.
Решение:
Используя определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, где $a=5$ и $c=-3$, получаем:
$x = 5^{-3}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$x = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{1}{125} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{1}{125}$.

4) Дано:
Уравнение $\log_{\frac{4}{7}} x = -2$.
Найти:
$x$.
Решение:
По определению логарифма, $x$ равен основанию $\frac{4}{7}$, возведенному в степень $-2$.
$x = \left(\frac{4}{7}\right)^{-2}$
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$x = \left(\frac{7}{4}\right)^2$
$x = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$
Проверим условие $x > 0$: $\frac{49}{16} > 0$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.
Ответ: $\frac{49}{16}$.

245. 1) $\log_{\frac{1}{8}}(x-4)=-1$;

2) $\log_{2,5}(x+2)=1$;

3) $\lg x=-2$;

4) $\ln x=1$.

1) Решить уравнение $\log_{\frac{1}{8}}(x-4)=-1$.

Для решения используем основное логарифмическое тождество: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это свойство к данному уравнению: $x-4 = (\frac{1}{8})^{-1}$

Вычислим правую часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$

Теперь уравнение принимает вид: $x-4 = 8$

Решаем полученное линейное уравнение: $x = 8 + 4$ $x = 12$

Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. $x - 4 > 0$ $x > 4$

Полученный корень $x=12$ удовлетворяет условию $12 > 4$, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $12$.

2) Решить уравнение $\log_{2,5}(x+2)=1$.

Используя определение логарифма ($b = a^c$): $x+2 = (2,5)^1$

$x+2 = 2,5$

Решаем уравнение: $x = 2,5 - 2$ $x = 0,5$

Проверим ОДЗ: $x+2 > 0$ $x > -2$

Корень $x=0,5$ удовлетворяет условию $0,5 > -2$.

Ответ: $0,5$.

3) Решить уравнение $\lg x = -2$.

Символ $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$. Уравнение можно переписать в виде: $\log_{10} x = -2$

По определению логарифма: $x = 10^{-2}$

Вычисляем значение: $x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$

ОДЗ для $\lg x$: $x > 0$

Корень $x=0,01$ удовлетворяет условию $0,01 > 0$.

Ответ: $0,01$.

4) Решить уравнение $\ln x = 1$.

Символ $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$ (число Эйлера): $\ln x = \log_e x$. Уравнение можно переписать в виде: $\log_e x = 1$

По определению логарифма: $x = e^1$ $x = e$

ОДЗ для $\ln x$: $x > 0$

Число $e \approx 2,718$, что больше нуля. Следовательно, корень $x=e$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $e$.

246.

1) $\log_2(x^2 - 2x) = 3$;

2) $\log_{\frac{1}{5}}(4x+x^2) = -1$;

3) $\log_{0,5}(x^3+1) = -1$;

4) $\lg(7x-x^2) = 1$.

1)

Дано:

$\log_2(x^2 - 2x) = 3$

Найти:

$x$

Решение:

По определению логарифма $\log_a b = c$ равносильно $a^c = b$. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x-2) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решим исходное уравнение, используя определение логарифма:

$x^2 - 2x = 2^3$

$x^2 - 2x = 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x > 2$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, также является решением.

Ответ: -2; 4.

2)

Дано:

$\log_{\frac{1}{5}}(4x + x^2) = -1$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$4x + x^2 > 0$

$x(4 + x) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:

$4x + x^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$

$4x + x^2 = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Отсюда корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $x < -4$, следовательно, также является решением.

Ответ: -5; 1.

3)

Дано:

$\log_{0.5}(x^3 + 1) = -1$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^3 + 1 > 0$

$x^3 > -1$

$x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

Решим уравнение, используя определение логарифма. Заметим, что $0.5 = \frac{1}{2}$.

$x^3 + 1 = (0.5)^{-1}$

$x^3 + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

$x^3 + 1 = 2$

$x^3 = 2 - 1$

$x^3 = 1$

$x = \sqrt[3]{1} = 1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ.

Корень $x = 1$ удовлетворяет условию $x > -1$, следовательно, является решением.

Ответ: 1.

4)

Дано:

$\lg(7x - x^2) = 1$

Найти:

$x$

Решение:

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Уравнение можно переписать как $\log_{10}(7x - x^2) = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$7x - x^2 > 0$

$x(7 - x) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (0; 7)$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:

$7x - x^2 = 10^1$

$7x - x^2 = 10$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 7$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 10$

Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(0; 7)$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = 5$ принадлежит интервалу $(0; 7)$, следовательно, также является решением.

Ответ: 2; 5.

247.

1) $log_{3.2}(2-x) = log_{3.2}(3x+6);$

2) $log_{0.8}(1+2x)=log_{0.8}(4x-10);$

3) $log_{2}(x-6)+log_{2}(x-8)=3;$

4) $log_{8}(x-2)-log_{8}(x-3)=\frac{1}{3}.$

1) $ \log_{3.2}(2-x) = \log_{3.2}(3x+6) $

Решение:

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля. $ \begin{cases} 2-x > 0 \\ 3x+6 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < 2 \\ 3x > -6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $ Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2; 2)$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $ 2 - x = 3x + 6 $

Решим полученное линейное уравнение: $ 2 - 6 = 3x + x $ $ -4 = 4x $ $ x = -1 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений. Так как $-2 < -1 < 2$, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $ -1 $.

2) $ \log_{0.8}(1+2x) = \log_{0.8}(4x-10) $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $ \begin{cases} 1+2x > 0 \\ 4x-10 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x > -1 \\ 4x > 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 2.5$. Итак, ОДЗ: $x \in (2.5; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны: $ 1 + 2x = 4x - 10 $

Решим уравнение: $ 1 + 10 = 4x - 2x $ $ 11 = 2x $ $ x = 5.5 $

Проверим, принадлежит ли корень $x = 5.5$ ОДЗ. Условие $5.5 > 2.5$ выполняется, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $ 5.5 $.

3) $ \log_{2}(x-6) + \log_{2}(x-8) = 3 $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x-6 > 0 \\ x-8 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 6 \\ x > 8 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 8$. Итак, ОДЗ: $x \in (8; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$. $ \log_{2}((x-6)(x-8)) = 3 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b $), преобразуем уравнение: $ (x-6)(x-8) = 2^3 $ $ x^2 - 8x - 6x + 48 = 8 $ $ x^2 - 14x + 40 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 14, произведение равно 40. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 10$. Или через дискриминант: $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 = 6^2 $. $ x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 6}{2} $ $ x_1 = \frac{14-6}{2} = 4 $ $ x_2 = \frac{14+6}{2} = 10 $

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x > 8$). Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 > 8$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 > 8$.

Ответ: $ 10 $.

4) $ \log_{8}(x-2) - \log_{8}(x-3) = \frac{1}{3} $

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} $ Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases} $ Пересечением этих условий является $x > 3$. Итак, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})$. $ \log_{8}\left(\frac{x-2}{x-3}\right) = \frac{1}{3} $

По определению логарифма: $ \frac{x-2}{x-3} = 8^{\frac{1}{3}} $ Так как $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, получаем: $ \frac{x-2}{x-3} = 2 $

Решим полученное уравнение: $ x-2 = 2(x-3) $ $ x-2 = 2x - 6 $ $ 6 - 2 = 2x - x $ $ x = 4 $

Проверим корень на принадлежность ОДЗ ($x > 3$). Корень $x = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Ответ: $ 4 $.

248.1)

$ \lg (5 - x) = \frac{1}{3} \lg (35 - x^3); $

2)

$ \log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0; $

3)

$ \log_{\sqrt{5}} (4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}} (2x - 5); $

4)

$ \log_2 (3x - 6) - 1 = \log_2 (9x - 19). $

1) $\lg(5 - x) = \frac{1}{3}\lg(35 - x^3)$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ 35 - x^3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x^3 < 35 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x < \sqrt[3]{35} \end{cases} $
Поскольку $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{35} < \sqrt[3]{64}$, то $3 < \sqrt[3]{35} < 4$. Следовательно, условие $x < \sqrt[3]{35}$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (-\infty; \sqrt[3]{35})$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\lg(5 - x) = \lg((35 - x^3)^{\frac{1}{3}})$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$5 - x = \sqrt[3]{35 - x^3}$
Возведем обе части уравнения в куб:
$(5 - x)^3 = 35 - x^3$
Раскроем скобки по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 35 - x^3$
$125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$
$15x^2 - 75x + 90 = 0$
Разделим обе части на 15:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6.
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x < \sqrt[3]{35}$).
$x_1 = 2$: $2 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $2^3=8 < 35$).
$x_2 = 3$: $3 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $3^3=27 < 35$).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2, 3$.

2) $\log_2 \frac{x-5}{x+5} + \log_2(x+5) = 0$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} \frac{x-5}{x+5} > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} $
Из второго неравенства следует $x > -5$.
Рассмотрим первое неравенство $\frac{x-5}{x+5} > 0$. Оно выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (метод интервалов). Корни числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-5$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$, $(5; \infty)$. Знак выражения положителен на крайних интервалах.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.
Пересекая это решение с условием $x > -5$, получаем ОДЗ: $x \in (5; \infty)$.

Решим уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_2 \left(\frac{x-5}{x+5} \cdot (x+5)\right) = 0$
$\log_2 (x-5) = 0$
По определению логарифма ($a^c=b$):
$x-5 = 2^0$
$x-5 = 1$
$x = 6$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 5$).
$x=6$: $6 > 5$ (верно).
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $6$.

3) $\log_{\sqrt{5}}(4x-6) - 2 = \log_{\sqrt{5}}(2x-5)$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 5 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (2.5; \infty)$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число в другую:
$\log_{\sqrt{5}}(4x-6) - \log_{\sqrt{5}}(2x-5) = 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_{\sqrt{5}}\left(\frac{4x-6}{2x-5}\right) = 2$
По определению логарифма:
$\frac{4x-6}{2x-5} = (\sqrt{5})^2$
$\frac{4x-6}{2x-5} = 5$
Умножим обе части на $(2x-5)$, так как по ОДЗ $2x-5 \neq 0$:
$4x-6 = 5(2x-5)$
$4x-6 = 10x - 25$
$25-6 = 10x - 4x$
$19 = 6x$
$x = \frac{19}{6}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 2.5$).
$x = \frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6}$.
$3 \frac{1}{6} > 2.5$ (верно, так как $2.5 = 2 \frac{1}{2} = 2 \frac{3}{6}$).
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

4) $\log_2(3x-6) - 1 = \log_2(9x-19)$

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 9x - 19 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x > 6 \\ 9x > 19 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{19}{9} \end{cases} $
Так как $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$, то условие $x > \frac{19}{9}$ является более строгим.
ОДЗ: $x \in (\frac{19}{9}; \infty)$.

Перенесем логарифмы в одну часть, а число - в другую.
$\log_2(3x-6) - \log_2(9x-19) = 1$
Используем свойство разности логарифмов:
$\log_2\left(\frac{3x-6}{9x-19}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{3x-6}{9x-19} = 2^1$
$\frac{3x-6}{9x-19} = 2$
Умножим обе части на $(9x-19)$, так как по ОДЗ $9x-19 \neq 0$:
$3x-6 = 2(9x-19)$
$3x-6 = 18x - 38$
$38 - 6 = 18x - 3x$
$32 = 15x$
$x = \frac{32}{15}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > \frac{19}{9}$).
Сравним $\frac{32}{15}$ и $\frac{19}{9}$. Приведем к общему знаменателю 45:
$\frac{32}{15} = \frac{32 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{96}{45}$
$\frac{19}{9} = \frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{95}{45}$
Так как $\frac{96}{45} > \frac{95}{45}$, то $\frac{32}{15} > \frac{19}{9}$.
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{32}{15}$.

249. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x - y = 8, \\ \log_3 x + \log_3 y = 2; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x - y = 14, \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\ x + y = 20; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \lg x - \lg y = 0; \\ 2x - y = 10. \end{cases}$

1)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} x - y = 8 \\ \log_3 x + \log_3 y = 2 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому:

$x > 0$

$y > 0$

Теперь преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_3(xy) = 2$

По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:

$xy = 3^2$

$xy = 9$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 8 \\ xy = 9 \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 8 + y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$(8 + y)y = 9$

$8y + y^2 = 9$

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Используя теорему Виета, находим корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = -9$

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($y > 0$).

Корень $y_1 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Корень $y_2 = -9$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Таким образом, единственное подходящее значение для $y$ - это $1$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 8 + y = 8 + 1 = 9$

Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Выполним проверку, подставив пару $(9; 1)$ в исходную систему:

$ \begin{cases} 9 - 1 = 8 \\ \log_3 9 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(9; 1)$.

2)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} x - y = 14 \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -5 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(xy) = -5$

По определению логарифма:

$xy = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x - y = 14 \\ xy = 32 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $x$:

$x = 14 + y$

Подставляем во второе уравнение:

$(14 + y)y = 32$

$y^2 + 14y - 32 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -16$

Согласно ОДЗ ($y>0$), корень $y_2 = -16$ является посторонним.

Следовательно, $y = 2$.

Находим $x$:

$x = 14 + 2 = 16$

Значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверка:

$ \begin{cases} 16 - 2 = 14 \\ \log_{\frac{1}{2}} 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2^4 + \log_{2^{-1}} 2^1 = -4 - 1 = -5 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(16; 2)$.

3)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1 \\ x + y = 20 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_4\left(\frac{x}{y}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 4^1 = 4$

$x = 4y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$4y + y = 20$

$5y = 20$

$y = 4$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Находим $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 4 = 16$

Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверка:

$ \begin{cases} \log_4 16 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1 \\ 16 + 4 = 20 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(16; 4)$.

4)

Дано:

Система уравнений $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 0 \\ 2x - y = 10 \end{cases} $

Найти:

Переменные $x$ и $y$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)

Преобразуем первое уравнение:

$\lg x = \lg y$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = y$

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$2x - x = 10$

$x = 10$

Поскольку $x = y$, то $y = 10$.

Оба значения, $x = 10$ и $y = 10$, удовлетворяют ОДЗ.

Проверка:

$ \begin{cases} \lg 10 - \lg 10 = 1 - 1 = 0 \\ 2(10) - 10 = 20 - 10 = 10 \end{cases} $

Оба уравнения верны.

Ответ: $(10; 10)$.

Решите уравнения (250-254):

250. 1)
$ \log_7(x - 2) + \log_7(x + 2) = \log_7(4x + 41); $

2) $ \log_4(x + 1) - \log_4(1 - x) = \log_4(2x + 3); $

3) $ \log_4(x + 3) - \log_4(x - 1) = 2 - \log_4 8; $

4) $ \lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 3 \lg 2 + \lg (x - 2). $

250. 1) $log_7(x - 2) + log_7(x + 2) = log_7(4x+41)$
Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 4x + 41 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > -10.25 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 2$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ для левой части уравнения:
$log_7((x - 2)(x + 2)) = log_7(4x+41)$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)(x + 2) = 4x + 41$
$x^2 - 4 = 4x + 41$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 45 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-(-4) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = -5$
Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 2$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > 2$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $9$.

2) $log_4(x + 1) - log_4(1 - x) = log_4(2x + 3)$
Решение:
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $-1 < x < 1$.
Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_4(\frac{x+1}{1-x}) = log_4(2x + 3)$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{x+1}{1-x} = 2x + 3$
$x + 1 = (2x + 3)(1 - x)$
$x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$
$x + 1 = -2x^2 - x + 3$
$2x^2 + 2x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 < x < 1$).
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $x_1 \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$. Это значение принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
Значение $x_2 \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Это значение не принадлежит интервалу $(-1, 1)$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

3) $log_4(x + 3) - log_4(x - 1) = 2 - log_4(8)$
Решение:
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases}$
Пересечением является $x > 1$.
Перенесем $log_4(8)$ в левую часть уравнения:
$log_4(x + 3) - log_4(x - 1) + log_4(8) = 2$
Используя свойства логарифмов, объединим логарифмы в левой части:
$log_4(\frac{(x+3) \cdot 8}{x-1}) = 2$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \Leftrightarrow a^c = b$):
$\frac{8(x+3)}{x-1} = 4^2$
$\frac{8(x+3)}{x-1} = 16$
Разделим обе части на 8:
$\frac{x+3}{x-1} = 2$
При условии, что $x-1 \neq 0$ (что выполняется в ОДЗ), умножим обе части на $(x-1)$:
$x+3 = 2(x-1)$
$x+3 = 2x - 2$
$5 = x$
Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Корень $x=5$ удовлетворяет условию.
Ответ: $5$.

4) $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 3lg2 + lg(x - 2)$
Решение:
Найдем ОДЗ (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$):
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$
Пересечением является $x > 2$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n\cdot log_a(b) = log_a(b^n)$ и $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$lg((x - 1)(x + 1)) = lg(2^3) + lg(x - 2)$
$lg(x^2 - 1) = lg(8) + lg(x - 2)$
$lg(x^2 - 1) = lg(8(x - 2))$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 - 1 = 8(x - 2)$
$x^2 - 1 = 8x - 16$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15.
Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x > 2$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 2$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $3; 5$.

251.1) $2 \log_3 (x - 2) + \log_3 (x - 4)^2 = 0;$

2) $2\lg x - \lg 4 + \lg (5 - x^2) = 0;$

3) $\lg[x(x + 9)] + \lg \frac{x+9}{x} = 0;$

4) $\frac{\lg\sqrt{x+7} - \lg2}{\lg8 - \lg(x-5)} = -1.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $2 \log_3 (x-2) + \log_3 (x-4)^2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ (x-4)^2 > 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 4 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3 (x-2)^2 + \log_3 (x-4)^2 = 0$

$\log_3 ((x-2)^2(x-4)^2) = 0$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $):

$(x-2)^2(x-4)^2 = 3^0$

$((x-2)(x-4))^2 = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $(x-2)(x-4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 = 1$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{2}$.

2) $(x-2)(x-4) = -1$

$x^2 - 6x + 8 = -1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Это полный квадрат: $(x-3)^2 = 0$.

$x_3 = 3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Корень $x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.414 = 4.414$. Этот корень принадлежит интервалу $(4, \infty)$, следовательно, он подходит.

Корень $x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $1.586 < 2$.

Корень $x_3 = 3$. Этот корень принадлежит интервалу $(2, 4)$, следовательно, он подходит.

Ответ: $x=3, x=3+\sqrt{2}$.

2)

Решение:

Исходное уравнение: $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 5-x^2 > 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 5 \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} x > 0 \\ -\sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, \sqrt{5})$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\lg x^2 - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$

$\lg \left(\frac{x^2(5 - x^2)}{4}\right) = 0$

По определению десятичного логарифма:

$\frac{x^2(5 - x^2)}{4} = 10^0 = 1$

$x^2(5 - x^2) = 4$

$5x^2 - x^4 = 4$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (0, \sqrt{5})$. Приблизительно $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x=-1$ не принадлежит ОДЗ.

Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 < \sqrt{5}$.

Корень $x=-2$ не принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=1, x=2$.

3)

Решение:

Исходное уравнение: $\lg[x(x+9)] + \lg\frac{x+9}{x} = 0$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x(x+9) > 0 \\ \frac{x+9}{x} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства выполняются при $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\lg\left(x(x+9) \cdot \frac{x+9}{x}\right) = 0$

При $x \neq 0$, что выполняется в ОДЗ, можно сократить:

$\lg((x+9)^2) = 0$

По определению логарифма:

$(x+9)^2 = 10^0 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x+9 = 1 \Rightarrow x = -8$.

2) $x+9 = -1 \Rightarrow x = -10$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

Корень $x=-8$ не принадлежит ОДЗ.

Корень $x=-10$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=-10$.

4)

Решение:

Исходное уравнение: $\frac{\lg\sqrt{x+7}-\lg 2}{\lg 8 - \lg(x-5)} = -1$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x+7 > 0 \\ x-5 > 0 \\ \lg 8 - \lg(x-5) \neq 0 \end{cases} $

Решая систему, получаем:

$ \begin{cases} x > -7 \\ x > 5 \\ \lg 8 \neq \lg(x-5) \Rightarrow 8 \neq x-5 \Rightarrow x \neq 13 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Преобразуем уравнение:

$\lg\sqrt{x+7} - \lg 2 = -(\lg 8 - \lg(x-5))$

$\lg\sqrt{x+7} - \lg 2 = \lg(x-5) - \lg 8$

Используем свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \lg\frac{x-5}{8}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \frac{x-5}{8}$

$8\sqrt{x+7} = 2(x-5)$

$4\sqrt{x+7} = x-5$

Возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это условие выполняется в нашей ОДЗ.

$(4\sqrt{x+7})^2 = (x-5)^2$

$16(x+7) = x^2 - 10x + 25$

$16x + 112 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 26x - 87 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-87) = 676 + 348 = 1024 = 32^2$.

$x_{1,2} = \frac{26 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{26+32}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

$x_2 = \frac{26-32}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Корень $x_1=29$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x_2=-3$ не принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=29$.