Страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

3. В каких случаях значение переменной $x$ не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

Находить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения — это стандартный и наиболее надежный способ решения, который позволяет избежать появления посторонних корней. Однако это не всегда является строго обязательным шагом, если использовать другие методы контроля корней. Рассмотрим два основных подхода:

• Подход 1: Нахождение ОДЗ (рекомендуемый).

  Этот подход состоит из двух шагов:

  1. В самом начале решения находятся все ограничения на переменную $x$, вытекающие из определения логарифма: все выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля, а все выражения в основании логарифма — строго больше нуля и не равны единице. Решение этой системы неравенств и дает ОДЗ.

  2. После нахождения ОДЗ решается само уравнение. Из полученных корней выбираются только те, которые принадлежат найденной ОДЗ.

  Преимущество: Этот метод систематичен и снижает вероятность ошибки, особенно в сложных уравнениях, где преобразования могут привести к расширению ОДЗ.

• Подход 2: Проверка корней.

  Можно решить уравнение, не находя предварительно ОДЗ, а затем выполнить проверку. Каждый найденный корень подставляется в исходное уравнение. Если при подстановке корня:

  - получается верное числовое равенство,

  - все логарифмические выражения при этом имеют смысл (аргументы положительны, основания положительны и не равны 1),

  то корень является решением уравнения. В противном случае корень является посторонним.

  Когда это применимо: Этот метод удобен, когда нахождение ОДЗ представляет собой более сложную задачу, чем решение самого уравнения. Например, если уравнение имеет вид $\log_a(f(x)) = C$, то после потенцирования получаем $f(x) = a^C$. Так как $a > 0$, то $a^C$ всегда положительно, и условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически для всех найденных корней. В этом случае находить ОДЗ избыточно.

Важно помнить, что некоторые преобразования (например, замена $\log_a(f(x)) + \log_a(g(x))$ на $\log_a(f(x) \cdot g(x))$) могут расширить ОДЗ. В таких случаях предварительное нахождение ОДЗ или обязательная проверка в конце являются ключевыми для отсева посторонних корней.

Ответ: Не всегда обязательно находить ОДЗ, если вместо этого выполняется проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение. Однако нахождение ОДЗ является более систематическим и надежным методом, который помогает избежать ошибок, связанных с применением неравносильных преобразований.

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

Существует несколько общих методов для решения показательных и логарифмических уравнений.

Общие способы решения показательных уравнений (вида $a^{f(x)} = b^{g(x)}$):

• Приведение к одному основанию. Если уравнение можно привести к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$), то оно равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
• Введение новой переменной (метод подстановки). Часто используется для уравнений, сводящихся к квадратным или другим алгебраическим уравнениям. Например, в уравнении $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ делается замена $t = a^x$ (с условием $t > 0$).
• Вынесение общего множителя за скобки. Применяется, когда в уравнении есть степени с одинаковым основанием. Например, в уравнении $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$ можно вынести за скобки $3^{x-1}$.
• Логарифмирование обеих частей. Используется, когда основания степеней различны и их нельзя привести к одному. Например, для уравнения $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ можно взять логарифм по любому основанию от обеих частей: $f(x) \cdot \ln(a) = g(x) \cdot \ln(b)$.
• Графический метод. Строятся графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями уравнения. Этот метод чаще всего позволяет найти приближенные решения.

Общие способы решения логарифмических уравнений (вида $\log_a(f(x)) = \log_b(g(x))$):

• Использование определения логарифма (потенцирование). Уравнение вида $\log_a(f(x)) = c$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = a^c \\ f(x) > 0 \\ a > 0, a \neq 1 \end{cases}$. Уравнение вида $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ равносильно одной из систем: $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$.
• Введение новой переменной (метод подстановки). Применяется к уравнениям, которые являются алгебраическими относительно логарифма. Например, в уравнении $A \cdot (\log_a x)^2 + B \cdot \log_a x + C = 0$ делается замена $t = \log_a x$.
• Использование свойств логарифмов. Сумма и разность логарифмов с одинаковым основанием заменяются на логарифм произведения или частного соответственно. Важно помнить, что такие преобразования могут изменять ОДЗ, поэтому необходима проверка корней или предварительное нахождение ОДЗ.
• Приведение к одному основанию. Если в уравнении встречаются логарифмы с разными основаниями, их приводят к одному с помощью формулы перехода: $\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}$.
• Логарифмирование. Применяется к уравнениям, где переменная находится и в основании, и в аргументе логарифма, например, $x^{\log_a x} = b$.

Ответ: Основные способы решения показательных уравнений: приведение к одному основанию, введение новой переменной, вынесение общего множителя, логарифмирование обеих частей, графический метод. Основные способы решения логарифмических уравнений: потенцирование (использование определения логарифма), введение новой переменной, использование свойств логарифмов, приведение к одному основанию, логарифмирование.

3. В каких случаях значение переменной $x$ не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

Найденное в процессе решения значение переменной $x$ не является решением (является посторонним корнем) логарифмического уравнения в двух основных случаях.

1. Значение $x$ не входит в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Обоснование: Логарифмическая функция $\log_a b$ определена только при выполнении следующих условий:

• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
• Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Если при подстановке найденного значения $x$ в исходное уравнение хотя бы одно из этих условий нарушается (т.е. какой-либо аргумент логарифма становится меньше или равен нулю, или основание становится меньше или равно нулю или равным единице), то соответствующее логарифмическое выражение теряет смысл. Следовательно, само уравнение при таком значении $x$ не определено, и это значение не может быть его решением.

Пример: Уравнение $\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3$. Решая, получаем $\log_2(x(x-2))=3$, $x^2-2x=8$, $x^2-2x-8=0$. Корни этого уравнения: $x_1=4$ и $x_2=-2$. Проверяем:

• При $x=4$: $\log_2(4) + \log_2(2) = 2+1=3$. Верно. $x=4$ - корень.
• При $x=-2$: $\log_2(-2)$ не существует. Следовательно, $x=-2$ — посторонний корень.

2. Корень появился в результате неравносильных преобразований уравнения.

Обоснование: Некоторые преобразования, используемые для упрощения уравнений, расширяют ОДЗ, что может привести к появлению посторонних корней. Классические примеры:

• Замена $\log_a(f(x)) + \log_a(g(x))$ на $\log_a(f(x) \cdot g(x))$. Исходная ОДЗ: $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \end{cases}$. ОДЗ после преобразования: $f(x) \cdot g(x)>0$, что также допускает случай $\begin{cases} f(x)<0 \\ g(x)<0 \end{cases}$.
• Замена $2\log_a(f(x))$ на $\log_a((f(x))^2)$. Исходная ОДЗ: $f(x)>0$. ОДЗ после преобразования: $(f(x))^2 > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$.

В результате решения преобразованного уравнения могут появиться корни, которые удовлетворяют новой, более широкой ОДЗ, но не удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения.

Ответ: Значение переменной $x$ не является решением логарифмического уравнения, если оно не входит в его область допустимых значений (ОДЗ), то есть обращает аргумент какого-либо логарифма в ноль или отрицательное число, либо обращает основание в недопустимое значение (неположительное или 1). Это происходит потому, что при таких значениях $x$ исходное уравнение теряет математический смысл. Посторонние корни могут возникать из-за выполнения неравносильных преобразований, расширяющих ОДЗ уравнения.