Страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

1. Используются ли свойства логарифма при решении логарифмических неравенств?

Да, свойства логарифма являются ключевым инструментом при решении логарифмических неравенств. Они используются для упрощения и преобразования неравенств к более простому виду, который затем можно решить. Основная цель таких преобразований — привести неравенство к виду $\log_a f(x) \vee \log_a g(x)$ (где $\vee$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$), чтобы затем перейти к неравенству для подлогарифмических выражений.

Основные используемые свойства:

• Сумма логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$
• Разность логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$
• Вынесение показателя степени из-под знака логарифма: $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$
• Формула перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Применение этих свойств позволяет свести сложные логарифмические неравенства к простейшим.

Ответ: Да, свойства логарифма активно используются для преобразования и упрощения логарифмических неравенств.

2. Какие способы применяются при решении логарифмических неравенств?

При решении логарифмических неравенств применяются несколько основных способов:

• Метод потенцирования. Это основной метод, который заключается в переходе от неравенства, содержащего логарифмы, к неравенству для подлогарифмических выражений. Например, от неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ переходят к системе неравенств, учитывая область допустимых значений (ОДЗ) и монотонность логарифмической функции.
• Метод введения новой переменной (замены). Этот способ применяется, когда неравенство содержит повторяющиеся логарифмические выражения. Например, в неравенстве вида $A \cdot (\log_a x)^2 + B \cdot \log_a x + C > 0$ можно сделать замену $t = \log_a x$, что приводит его к квадратному неравенству относительно переменной $t$.
• Метод логарифмирования. Применяется для неравенств вида $(f(x))^{g(x)} > (f(x))^{h(x)}$, где основание степени содержит переменную. Обе части неравенства логарифмируют по подходящему основанию.
• Метод рационализации (обобщенный метод интервалов). Это более продвинутый метод, который позволяет заменить сложное логарифмическое выражение на более простое рациональное выражение, имеющее те же знаки на ОДЗ. Например, выражение $\log_a f(x) - \log_a g(x)$ на ОДЗ ($f(x)>0, g(x)>0$) имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(f(x)-g(x))$.

Ответ: Основные способы решения логарифмических неравенств — это метод потенцирования, метод введения новой переменной, метод логарифмирования и метод рационализации.

3. Зависит ли решение логарифмического неравенства от основания логарифмической функции? Ответ обоснуйте.

Да, решение логарифмического неравенства существенно зависит от основания логарифмической функции. Это связано со свойством монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

Обоснование:

Существует два случая для основания логарифма $a$ (по определению $a>0$ и $a \neq 1$):

1. Основание $a > 1$. В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется.
   Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a>1$ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $ (условие $f(x)>0$ выполняется автоматически).
2. Основание $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
   Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $00$ выполняется автоматически).

Таким образом, значение основания логарифма является определяющим фактором при решении неравенства.

Ответ: Да, зависит. Если основание логарифма больше 1, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется, так как функция возрастает. Если основание находится в интервале от 0 до 1, знак неравенства меняется на противоположный, так как функция убывает.