Страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (257–261):

257.1) $\log_4 x > 2;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < -3;$

3) $\lg x < -2;$

4) $\ln x \le 1.$

1) $\log_4 x > 2$

Решение.
Это логарифмическое неравенство. Для его решения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
2. Привести обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием. Представим число 2 как логарифм с основанием 4: $2 = \log_4(4^2) = \log_4 16$.
3. Теперь неравенство принимает вид: $\log_4 x > \log_4 16$.
4. Основание логарифма $a=4$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти от логарифмов к их аргументам, сохранив знак неравенства: $x > 16$.
5. Совместить полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x > 16 \\ x > 0 \end{cases}$ является $x > 16$.
Ответ: $(16; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < -3$

Решение.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$: $-3 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.
3. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 8$.
4. Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 8$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x > 8 \\ x > 0 \end{cases}$ является $x > 8$.
Ответ: $(8; +\infty)$.

3) $\lg x < -2$

Решение.
Данное неравенство содержит десятичный логарифм $\lg x$, который является логарифмом по основанию 10.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.
3. Неравенство принимает вид: $\lg x < \lg 0.01$.
4. Основание логарифма $a=10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x < 0.01$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x < 0.01 \\ x > 0 \end{cases}$ является интервал $0 < x < 0.01$.
Ответ: $(0; 0.01)$.

4) $\ln x \le 1$

Решение.
Данное неравенство содержит натуральный логарифм $\ln x$, который является логарифмом по основанию $e$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде натурального логарифма: $1 = \ln(e^1) = \ln e$.
3. Неравенство принимает вид: $\ln x \le \ln e$.
4. Основание логарифма $a=e \approx 2.718$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x \le e$.
5. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решением системы неравенств $\begin{cases} x \le e \\ x > 0 \end{cases}$ является полуинтервал $0 < x \le e$.
Ответ: $(0; e]$.

258.1) $\log_6(4x + 1) < 1;$

2) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge -1;$

3) $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1;$

4) $\log_{0.2}(7 - x) > -1.$

1) $\log_6(4x + 1) < 1$

Решение

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство. Это равносильно решению системы неравенств.

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $4x + 1 > 0$.

2. Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим $1$ как $\log_6(6)$.

$ \begin{cases} 4x + 1 > 0 \\ \log_6(4x + 1) < \log_6(6) \end{cases} $

$ \begin{cases} 4x > -1 \\ 4x + 1 < 6 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ 4x < 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.25 \\ x < 1.25 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих двух условий: $x \in (-0.25; 1.25)$.

Ответ: $(-0.25; 1.25)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge -1$

Решение

Решим данное неравенство, составив систему.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3 - 2x > 0$.

2. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Представим $-1$ как $\log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$.

$ \begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) \ge \log_{\frac{1}{3}}(3) \end{cases} $

$ \begin{cases} -2x > -3 \\ 3 - 2x \le 3 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ -2x \le 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 1.5 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих условий: $x \in [0; 1.5)$.

Ответ: $[0; 1.5)$.

3) $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1$

Решение

Составим и решим систему неравенств.

1. ОДЗ: $x + 0.6 > 0$.

2. Основание логарифма $0.4 < 1$, следовательно, функция убывающая, и знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный. Представим $1$ как $\log_{0.4}(0.4)$.

$ \begin{cases} x + 0.6 > 0 \\ \log_{0.4}(x + 0.6) < \log_{0.4}(0.4) \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x + 0.6 > 0.4 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x > 0.4 - 0.6 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -0.6 \\ x > -0.2 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является более сильное неравенство: $x > -0.2$.

Ответ: $(-0.2; +\infty)$.

4) $\log_{0.2}(7 - x) > -1$

Решение

Составим и решим систему неравенств.

1. ОДЗ: $7 - x > 0$.

2. Основание логарифма $0.2 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-1$ как $\log_{0.2}((0.2)^{-1}) = \log_{0.2}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{0.2}(5)$.

$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ \log_{0.2}(7 - x) > \log_{0.2}(5) \end{cases} $

$ \begin{cases} -x > -7 \\ 7 - x < 5 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ -x < 5 - 7 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ -x < -2 \end{cases} $

$ \begin{cases} x < 7 \\ x > 2 \end{cases} $

Решением системы является пересечение этих условий: $2 < x < 7$.

Ответ: $(2; 7)$.

259. 1) $\log_5(3x + 2) \ge \log_5(x - 1);$

2) $\log_{0.8}(6x - 2) \ge \log_{0.8}(x + 5);$

3) $\lg(2x - 1) < \lg(3x + 2);$

4) $\ln(4 - 2x) < \ln(x + 3).$

1)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\log_{5}(3x+2) \geq \log_{5}(x-1)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство, учитывая свойства логарифмической функции.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему неравенств:

$\begin{cases} 3x > -2 \\ x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2/3 \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма равно 5, что больше 1 ($5 > 1$). Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 2 \geq x - 1$

$3x - x \geq -1 - 2$

$2x \geq -3$

$x \geq -1.5$

3. Объединение результатов. Необходимо найти пересечение полученного решения $x \geq -1.5$ с областью допустимых значений $x > 1$.

$\begin{cases} x > 1 \\ x \geq -1.5 \end{cases}$

Общим решением системы является $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\log_{0.8}(6x-2) \geq \log_{0.8}(x+5)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 6x - 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 6x > 2 \\ x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением условий является $x > 1/3$. ОДЗ: $x \in (1/3, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма равно 0.8, что находится в интервале $(0, 1)$. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0.8}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$6x - 2 \leq x + 5$

$6x - x \leq 5 + 2$

$5x \leq 7$

$x \leq 7/5$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x \leq 7/5$ с ОДЗ $x > 1/3$.

$\begin{cases} x > 1/3 \\ x \leq 7/5 \end{cases}$

Общим решением является интервал $1/3 < x \leq 7/5$.

Ответ: $x \in (1/3, 7/5]$.

3)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\lg(2x-1) < \lg(3x+2)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 2x > 1 \\ 3x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ x > -2/3 \end{cases}$

Пересечением условий является $x > 1/2$. ОДЗ: $x \in (1/2, +\infty)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма $10 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$2x - 1 < 3x + 2$

$-1 - 2 < 3x - 2x$

$-3 < x$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x > -3$ с ОДЗ $x > 1/2$.

$\begin{cases} x > 1/2 \\ x > -3 \end{cases}$

Общим решением является $x > 1/2$.

Ответ: $x \in (1/2, +\infty)$.

4)

Дано:

Логарифмическое неравенство $\ln(4-2x) < \ln(x+3)$.

Найти:

Множество всех значений $x$, удовлетворяющих данному неравенству.

Решение:

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e \approx 2.718$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - 2x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 4 > 2x \\ x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является интервал $-3 < x < 2$. ОДЗ: $x \in (-3, 2)$.

2. Решение основного неравенства. Основание логарифма $e > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$4 - 2x < x + 3$

$4 - 3 < x + 2x$

$1 < 3x$

$x > 1/3$

3. Объединение результатов. Найдем пересечение решения $x > 1/3$ с ОДЗ $-3 < x < 2$.

$\begin{cases} -3 < x < 2 \\ x > 1/3 \end{cases}$

Общим решением является интервал $1/3 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1/3, 2)$.

260.

1) $\log_{0.4} (2x - 5) > \log_{0.4} (x + 1)$;

2) $\log_4 (3x - 1) < \log_4 (2x + 3)$;

3) $\log_3 \frac{2 - 3x}{x} \ge -1$;

4) $\log_{\frac{1}{2}} (3x - 4) < \log_{\frac{1}{2}} (x - 2).$

1) $log_{0.4}(2x - 5) > log_{0.4}(x + 1)$

Решение:

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражения под знаками логарифмов положительны:

$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$\begin{cases} 2x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2.5 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 2.5$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма равно $0.4$, что меньше 1 ($0 < 0.4 < 1$). Это означает, что логарифмическая функция $y=log_{0.4}(t)$ является убывающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$2x - 5 < x + 1$

$2x - x < 1 + 5$

$x < 6$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение решения неравенства с областью допустимых значений:

$\begin{cases} x > 2.5 \\ x < 6 \end{cases}$

Это соответствует интервалу $(2.5; 6)$.

Ответ: $(2.5; 6)$.

2) $log_4(3x - 1) < log_4(2x + 3)$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 1 \\ 2x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -1.5 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$.

Основание логарифма равно 4, что больше 1. Логарифмическая функция $y=log_4(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x - 1 < 2x + 3$

$3x - 2x < 3 + 1$

$x < 4$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x < 4 \end{cases}$

Решением является интервал $(\frac{1}{3}; 4)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 4)$.

3) $log_3\frac{2-3x}{x} \ge -1$

Решение:

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы аргумент логарифма был строго положителен:

$\frac{2-3x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Нуль знаменателя: $x = 0$. На числовой оси отмечаем точки 0 и $\frac{2}{3}$ и определяем знаки дроби в каждом из интервалов. Положительные значения дробь принимает при $x \in (0; \frac{2}{3})$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$-1 = log_3(3^{-1}) = log_3(\frac{1}{3})$

Неравенство принимает вид:

$log_3\frac{2-3x}{x} \ge log_3\frac{1}{3}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{2-3x}{x} \ge \frac{1}{3}$

$\frac{2-3x}{x} - \frac{1}{3} \ge 0$

$\frac{3(2-3x) - 1(x)}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 9x - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 10x}{3x} \ge 0$

Решаем это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $6 - 10x = 0 \Rightarrow x = 0.6$. Нуль знаменателя: $x=0$. Решением неравенства является интервал $(0; 0.6]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{2}{3})$. Так как $0.6 = \frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, а $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$, то $0.6 < \frac{2}{3}$. Пересечением интервалов $(0; \frac{2}{3})$ и $(0; 0.6]$ является $(0; 0.6]$.

Ответ: $(0; 0.6]$.

4) $log_{\frac{1}{2}}(3x-4) < log_{\frac{1}{2}}(x-2)$

Решение:

Находим область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 3x - 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{4}{3} \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$, что находится в интервале $(0; 1)$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 4 > x - 2$

$3x - x > 4 - 2$

$2x > 2$

$x > 1$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases}$

Общим решением является $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

261. 1) $log_{1/3} (x + 4) > log_{1/3} (x^2 + 2x - 2);$

2) $1 + log_2 (x - 2) > log_2 (x^2 - 3x + 2);$

3) $lg (x - 2) + lg (27 - x) < 2;$

4) $lg (2x - 3) > lg (x + 1).$

1) $ \log_{\frac{1}{3}}(x+4) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2+2x-2) $

Решение этого логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства с учетом свойств логарифмической функции.

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x+4 > 0 \\ x^2+2x-2 > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ x > -4 $.
Для второго неравенства $ x^2+2x-2 > 0 $ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2+2x-2 = 0 $.
Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $.
Так как ветви параболы $ y = x^2+2x-2 $ направлены вверх, неравенство $ x^2+2x-2 > 0 $ выполняется при $ x < -1 - \sqrt{3} $ или $ x > -1 + \sqrt{3} $.
Объединим все условия для ОДЗ:
$ \begin{cases} x > -4 \\ x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty) \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty) $.

2. Решим неравенство.
Так как основание логарифма $ a = \frac{1}{3} $ находится в интервале $ (0; 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ x+4 < x^2+2x-2 $
$ x^2 + 2x - x - 2 - 4 > 0 $
$ x^2 + x - 6 > 0 $
Разложим на множители: $ (x+3)(x-2) > 0 $.
Корни: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.
Нам нужно найти пересечение множеств $ ((-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)) \cap ((-\infty; -3) \cup (2; +\infty)) $.
Сравним значения: $ -1 - \sqrt{3} \approx -2.73 $, $ -1 + \sqrt{3} \approx 0.73 $.
Пересечение для левой части: $ (-4; -1 - \sqrt{3}) \cap (-\infty; -3) = (-4; -3) $.
Пересечение для правой части: $ (-1 + \sqrt{3}; +\infty) \cap (2; +\infty) = (2; +\infty) $.
Итоговое решение: $ x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty) $.

2) $ 1 + \log_2(x-2) > \log_2(x^2-3x+2) $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x^2-3x+2 > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства: $ x > 2 $.
Второе неравенство $ x^2-3x+2 > 0 $ раскладывается на множители $ (x-1)(x-2) > 0 $. Решением является $ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) $.
Пересечение условий $ x > 2 $ и $ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) $ дает ОДЗ: $ x > 2 $, или $ x \in (2; +\infty) $.

2. Преобразуем и решим неравенство.
Представим 1 как логарифм по основанию 2: $ 1 = \log_2(2) $.
$ \log_2(2) + \log_2(x-2) > \log_2(x^2-3x+2) $
Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_2(2(x-2)) > \log_2(x^2-3x+2) $
$ \log_2(2x-4) > \log_2(x^2-3x+2) $
Так как основание логарифма $ a = 2 > 1 $, логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$ 2x-4 > x^2-3x+2 $
$ 0 > x^2-5x+6 $
$ x^2-5x+6 < 0 $
Разложим на множители: $ (x-2)(x-3) < 0 $.
Решением этого неравенства является интервал $ (2; 3) $.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (2; +\infty) $.
Решение неравенства: $ x \in (2; 3) $.
Пересечение этих множеств: $ (2; 3) $.

Ответ: $ x \in (2; 3) $.

3) $ \lg(x-2) + \lg(27-x) < 2 $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x-2 > 0 \\ 27-x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 27 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (2; 27) $.

2. Преобразуем и решим неравенство.
Используем свойство суммы логарифмов: $ \lg((x-2)(27-x)) < 2 $.
Представим 2 как десятичный логарифм: $ 2 = \lg(10^2) = \lg(100) $.
$ \lg((x-2)(27-x)) < \lg(100) $
Так как основание логарифма $ a = 10 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ (x-2)(27-x) < 100 $
$ 27x - x^2 - 54 + 2x < 100 $
$ -x^2 + 29x - 54 - 100 < 0 $
$ -x^2 + 29x - 154 < 0 $
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$ x^2 - 29x + 154 > 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 29x + 154 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{29 \pm 15}{2} $.
$ x_1 = \frac{29-15}{2} = \frac{14}{2} = 7 $.
$ x_2 = \frac{29+15}{2} = \frac{44}{2} = 22 $.
Решение неравенства $ x^2 - 29x + 154 > 0 $: $ x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (2; 27) $.
Решение неравенства: $ x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty) $.
Пересечение: $ (2; 27) \cap ((-\infty; 7) \cup (22; +\infty)) = (2; 7) \cup (22; 27) $.

Ответ: $ x \in (2; 7) \cup (22; 27) $.

4) $ \lg(2x-3) > \lg(x+1) $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x-3 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x > -1 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 1.5 $, или $ x \in (1.5; +\infty) $.

2. Решим неравенство.
Так как основание логарифма $ a = 10 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ 2x-3 > x+1 $
$ 2x - x > 1 + 3 $
$ x > 4 $

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
ОДЗ: $ x \in (1.5; +\infty) $.
Решение неравенства: $ x \in (4; +\infty) $.
Пересечение этих множеств: $ (4; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (4; +\infty) $.

Решите системы неравенств (262–263):

262. 1)

$ \begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_5 x > 1; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ x+1 > 3; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} \ln x \ge 0, \\ 5 - x < 0; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} \ln x \le 1, \\ x+7 > 0. \end{cases} $

1)

Дано:

$\begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_5 x > 1;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x - 18 < 0$. Перенесем 18 в правую часть: $x < 18$.

Второе неравенство: $\log_5 x > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Представим 1 в виде логарифма с основанием 5: $1 = \log_5 5$.

Неравенство принимает вид: $\log_5 x > \log_5 5$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 5$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x < 18, \\ x > 5, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $5 < x < 18$.

Ответ: $x \in (5, 18)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ x + 1 > 3;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -2$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим -2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 9$.

Второе неравенство: $x + 1 > 3$.

Перенесем 1 в правую часть: $x > 3 - 1$, что дает $x > 2$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x > 9, \\ x > 2, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x > 9$.

Ответ: $x \in (9, \infty)$.

3)

Дано:

$\begin{cases} \ln x \ge 0, \\ 5 - x < 0;\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\ln x \ge 0$.

Натуральный логарифм $\ln x$ имеет основание $e$, где $e \approx 2.718 > 1$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим 0 в виде натурального логарифма: $0 = \ln 1$.

Неравенство принимает вид: $\ln x \ge \ln 1$.

Так как основание $e > 1$, функция $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется: $x \ge 1$.

Второе неравенство: $5 - x < 0$.

Перенесем $x$ в правую часть: $5 < x$, или $x > 5$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \ge 1, \\ x > 5, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

4)

Дано:

$\begin{cases} \ln x \le 1, \\ x + 7 > 0.\end{cases}$

Найти:

Множество решений системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $\ln x \le 1$.

ОДЗ логарифма: $x > 0$.

Представим 1 в виде натурального логарифма: $1 = \ln e$.

Неравенство принимает вид: $\ln x \le \ln e$.

Так как основание $e > 1$, функция $y = \ln x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства сохраняется: $x \le e$.

Второе неравенство: $x + 7 > 0$.

Перенесем 7 в правую часть: $x > -7$.

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$\begin{cases} x \le e, \\ x > -7, \\ x > 0.\end{cases}$

Объединяя условия, получаем $0 < x \le e$.

Ответ: $x \in (0, e]$.

263. 1) $\begin{cases} x + 3 \geq 0, \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8 - x > 0, \\ \log_{5} x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{0,7} x < 1, \\ x - 0,3 \geq 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 9 - x \leq 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x+3 \ge 0, \\\log_{\frac{1}{2}} x > -1.\end{cases}$

Из первого неравенства $x+3 \ge 0$ следует, что $x \ge -3$.

Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > -1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x < (\frac{1}{2})^{-1}$, что равносильно $x < 2$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 2$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x \ge -3, \\0 < x < 2.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

2)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}8-x > 0, \\\log_5 x < 2.\end{cases}$

Из первого неравенства $8-x > 0$ следует, что $x < 8$.

Решим второе неравенство $\log_5 x < 2$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $5$ больше 1, при потенцировании знак неравенства сохраняется:$x < 5^2$, что равносильно $x < 25$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 25$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x < 8, \\0 < x < 25.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0, 8)$.

Ответ: $x \in (0, 8)$.

3)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_{0,7} x < 1, \\x - 0,3 \ge 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство $\log_{0,7} x < 1$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $0,7$ меньше 1 ($0 < 0,7 < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x > 0,7^1$, что равносильно $x > 0,7$.Решение первого неравенства с учетом ОДЗ: $x > 0,7$.

Из второго неравенства $x - 0,3 \ge 0$ следует, что $x \ge 0,3$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x > 0,7, \\x \ge 0,3.\end{cases}$Решением системы является интервал $x \in (0,7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0,7; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}9-x \le 0, \\\log_{\frac{1}{6}} x > -1.\end{cases}$

Из первого неравенства $9-x \le 0$ следует, что $x \ge 9$.

Решим второе неравенство $\log_{\frac{1}{6}} x > -1$. ОДЗ: $x > 0$.Поскольку основание логарифма $\frac{1}{6}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{6} < 1$), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$x < (\frac{1}{6})^{-1}$, что равносильно $x < 6$.Объединяя с ОДЗ, получаем решение для второго неравенства: $0 < x < 6$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases}x \ge 9, \\0 < x < 6.\end{cases}$Интервалы $[9, +\infty)$ и $(0, 6)$ не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

Решите неравенства (264–267):

264.1) $\log_2 x > \log_2 (3 - x)$;

2) $\lg x + \lg(x - 1) < \lg6$;

3) $\lg^2 x + 2\lg x > 3$;

4) $\log_{0,5} x \ge -6 + \log^2_{0,5} x$.

1) $ \log_2 x > \log_2 (3 - x) $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\begin{cases}x > 0 \\3 - x > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases}x > 0 \\x < 3\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 3) $.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x > 3 - x $

$ 2x > 3 $

$ x > 1.5 $

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases}x > 1.5 \\0 < x < 3\end{cases}$

Общим решением является интервал $ (1.5; 3) $.

Ответ: $ x \in (1.5; 3) $.

2) $ \lg x + \lg(x - 1) < \lg 6 $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}x > 0 \\x - 1 > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases}x > 0 \\x > 1\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:

$ \lg(x(x-1)) < \lg 6 $

Основание десятичного логарифма $ 10 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$ x(x-1) < 6 $

$ x^2 - x < 6 $

$ x^2 - x - 6 < 0 $

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -2 $.

Неравенство можно записать в виде $ (x - 3)(x + 2) < 0 $. Решением этого неравенства является интервал $ (-2; 3) $.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases}-2 < x < 3 \\x > 1\end{cases}$

Общим решением является интервал $ (1; 3) $.

Ответ: $ x \in (1; 3) $.

3) $ \lg^2 x + 2\lg x > 3 $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ x > 0 $.

2. Перенесем все члены в левую часть и введем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Неравенство примет вид:

$ t^2 + 2t - 3 > 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 + 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -3 $.

Неравенство можно записать в виде $ (t - 1)(t + 3) > 0 $. Решением является объединение интервалов: $ t < -3 $ или $ t > 1 $.

3. Вернемся к исходной переменной $ x $:

а) $ \lg x < -3 $

Так как основание $ 10 > 1 $, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$ x < 10^{-3} $, то есть $ x < 0.001 $.

б) $ \lg x > 1 $

$ x > 10^1 $, то есть $ x > 10 $.

4. Учтем ОДЗ ($ x > 0 $):

Из $ x < 0.001 $ и $ x > 0 $ получаем $ 0 < x < 0.001 $.

Из $ x > 10 $ и $ x > 0 $ получаем $ x > 10 $.

Итоговое решение — объединение этих интервалов.

Ответ: $ x \in (0; 0.001) \cup (10; +\infty) $.

4) $ \log_{0.5} x \ge -6 + \log_{0.5}^2 x $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ x > 0 $.

2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство относительно логарифма:

$ \log_{0.5}^2 x - \log_{0.5} x - 6 \le 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \log_{0.5} x $. Неравенство примет вид:

$ t^2 - t - 6 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 - t - 6 = 0 $. Корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -2 $.

Неравенство можно записать в виде $ (t - 3)(t + 2) \le 0 $. Решением этого неравенства является отрезок $ [-2; 3] $.

3. Вернемся к исходной переменной $ x $:

$ -2 \le \log_{0.5} x \le 3 $

Так как основание логарифма $ 0.5 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$ (0.5)^{-2} \ge x \ge (0.5)^3 $

$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \ge x \ge \left(\frac{1}{2}\right)^3 $

$ 2^2 \ge x \ge \frac{1}{8} $

$ 4 \ge x \ge 0.125 $

Запишем в привычном виде: $ 0.125 \le x \le 4 $.

4. Полученное решение $ [0.125; 4] $ полностью входит в ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in [0.125; 4] $.