Номер 264, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите неравенства (264–267):

264.1) $\log_2 x > \log_2 (3 - x)$;

2) $\lg x + \lg(x - 1) < \lg6$;

3) $\lg^2 x + 2\lg x > 3$;

4) $\log_{0,5} x \ge -6 + \log^2_{0,5} x$.

1) $ \log_2 x > \log_2 (3 - x) $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\begin{cases}x > 0 \\3 - x > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases}x > 0 \\x < 3\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0; 3) $.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x > 3 - x $

$ 2x > 3 $

$ x > 1.5 $

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases}x > 1.5 \\0 < x < 3\end{cases}$

Общим решением является интервал $ (1.5; 3) $.

Ответ: $ x \in (1.5; 3) $.

2) $ \lg x + \lg(x - 1) < \lg 6 $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}x > 0 \\x - 1 > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases}x > 0 \\x > 1\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:

$ \lg(x(x-1)) < \lg 6 $

Основание десятичного логарифма $ 10 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$ x(x-1) < 6 $

$ x^2 - x < 6 $

$ x^2 - x - 6 < 0 $

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -2 $.

Неравенство можно записать в виде $ (x - 3)(x + 2) < 0 $. Решением этого неравенства является интервал $ (-2; 3) $.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases}-2 < x < 3 \\x > 1\end{cases}$

Общим решением является интервал $ (1; 3) $.

Ответ: $ x \in (1; 3) $.

3) $ \lg^2 x + 2\lg x > 3 $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ x > 0 $.

2. Перенесем все члены в левую часть и введем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Неравенство примет вид:

$ t^2 + 2t - 3 > 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 + 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -3 $.

Неравенство можно записать в виде $ (t - 1)(t + 3) > 0 $. Решением является объединение интервалов: $ t < -3 $ или $ t > 1 $.

3. Вернемся к исходной переменной $ x $:

а) $ \lg x < -3 $

Так как основание $ 10 > 1 $, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$ x < 10^{-3} $, то есть $ x < 0.001 $.

б) $ \lg x > 1 $

$ x > 10^1 $, то есть $ x > 10 $.

4. Учтем ОДЗ ($ x > 0 $):

Из $ x < 0.001 $ и $ x > 0 $ получаем $ 0 < x < 0.001 $.

Из $ x > 10 $ и $ x > 0 $ получаем $ x > 10 $.

Итоговое решение — объединение этих интервалов.

Ответ: $ x \in (0; 0.001) \cup (10; +\infty) $.

4) $ \log_{0.5} x \ge -6 + \log_{0.5}^2 x $

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ x > 0 $.

2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство относительно логарифма:

$ \log_{0.5}^2 x - \log_{0.5} x - 6 \le 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \log_{0.5} x $. Неравенство примет вид:

$ t^2 - t - 6 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 - t - 6 = 0 $. Корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -2 $.

Неравенство можно записать в виде $ (t - 3)(t + 2) \le 0 $. Решением этого неравенства является отрезок $ [-2; 3] $.

3. Вернемся к исходной переменной $ x $:

$ -2 \le \log_{0.5} x \le 3 $

Так как основание логарифма $ 0.5 < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$ (0.5)^{-2} \ge x \ge (0.5)^3 $

$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \ge x \ge \left(\frac{1}{2}\right)^3 $

$ 2^2 \ge x \ge \frac{1}{8} $

$ 4 \ge x \ge 0.125 $

Запишем в привычном виде: $ 0.125 \le x \le 4 $.

4. Полученное решение $ [0.125; 4] $ полностью входит в ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in [0.125; 4] $.