Вопросы, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Какая связь существует между формулой любого члена бинома Ньютона и формулой Бернулли?

2. При каких значениях членов формула бинома Ньютона применяется в теории вероятностей?

1. Какая связь существует между формулой любого члена бинома Ньютона и формулой Бернулли?

Решение

Чтобы установить связь между этими формулами, запишем и сравним их.

Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Формула для произвольного члена этого разложения, который соответствует степени $b^k$ (его порядковый номер $k+1$), выглядит так:
$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – это биномиальный коэффициент.

Формула Бернулли применяется в теории вероятностей. Она позволяет вычислить вероятность $P_n(k)$ того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие (называемое «успехом») произойдет ровно $k$ раз. Формула имеет вид:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
Здесь $p$ – вероятность «успеха» в одном испытании, а $q = 1-p$ – вероятность «неудачи».

Сравнивая формулу для члена бинома Ньютона и формулу Бернулли, можно заметить их структурное сходство. Связь становится абсолютно ясной, если в формуле для члена бинома Ньютона $T_{k+1}$ произвести следующую замену:
• вместо $a$ подставить $q$ (вероятность неудачи),
• вместо $b$ подставить $p$ (вероятность успеха).

Тогда формула члена бинома Ньютона принимает вид:
$T_{k+1} = C_n^k q^{n-k} p^k$

Это выражение в точности совпадает с формулой Бернулли $P_n(k)$. Таким образом, формула Бернулли является частным случаем формулы для члена бинома Ньютона. Вероятность $P_n(k)$ представляет собой член разложения бинома $(q+p)^n$.

Ответ: Формула Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ по своей математической структуре является одним из членов разложения бинома Ньютона $(q+p)^n$. Если в формуле для $(k+1)$-го члена бинома Ньютона $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$ положить, что $a=q$ (вероятность «неудачи») и $b=p$ (вероятность «успеха»), то она полностью совпадает с формулой Бернулли.

2. При каких значениях членов формула бинома Ньютона применяется в теории вероятностей?

Решение

Как следует из ответа на первый вопрос, формула бинома Ньютона $(a+b)^n$ находит применение в теории вероятностей в контексте схемы независимых испытаний Бернулли. Для этого члены бинома $a$ и $b$ должны иметь конкретный вероятностный смысл.

Члены $a$ и $b$ должны представлять собой вероятности двух взаимоисключающих событий, которые образуют полную группу. Это означает, что в результате одного испытания может произойти только одно из этих двух событий.

В терминах теории вероятностей:
• Член $b$ принимается равным $p$, где $p$ – вероятность наступления интересующего нас события («успеха») в одном испытании.
• Член $a$ принимается равным $q$, где $q$ – вероятность противоположного события («неудачи»).

Для этих значений должны выполняться два основных условия, вытекающих из аксиом теории вероятностей:
1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: $p + q = 1$.
2. Вероятность любого события является неотрицательным числом, не превосходящим единицу: $0 \le p \le 1$ и $0 \le q \le 1$.

При выполнении этих условий разложение бинома $(q+p)^n$ полностью описывает распределение вероятностей числа успехов в $n$ испытаниях Бернулли. Сумма всех членов этого разложения (т.е. сумма вероятностей всех возможных исходов) равна единице, что является фундаментальным свойством любого распределения вероятностей:
$\sum_{k=0}^{n} P_n(k) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k p^k q^{n-k} = (q+p)^n = 1^n = 1$

Ответ: Формула бинома Ньютона $(a+b)^n$ применяется в теории вероятностей, когда её члены $a$ и $b$ являются вероятностями двух противоположных, образующих полную группу событий. А именно, $a=q$ (вероятность «неудачи») и $b=p$ (вероятность «успеха»), для которых выполняются условия: $p+q=1$ и $0 \le p, q \le 1$.