Номер 274, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

набрать необходимый номер.

274. Найдите с помощью формулы Бернулли вероятность выпа-

дания события точно 3 раза, 4 раза в четырех независимых испытаниях,

если постоянная вероятность равна 0,8.

Дано:

Общее число независимых испытаний: $n = 4$.

Вероятность наступления события в каждом испытании (вероятность "успеха"): $p = 0,8$.

Найти:

1. Вероятность того, что событие наступит ровно 3 раза: $P_4(3)$.

2. Вероятность того, что событие наступит ровно 4 раза: $P_4(4)$.

Решение:

Для решения задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие с постоянной вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$, $p$ — вероятность наступления события ("успеха"), а $q = 1 - p$ — вероятность ненаступления события ("неудачи").

В нашем случае дано:

$n = 4$

$p = 0,8$

Найдем вероятность "неудачи":

$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$

точно 3 раза

Найдем вероятность того, что событие наступит ровно $k=3$ раза в $n=4$ испытаниях. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{4-3}$

Сначала вычислим число сочетаний $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Теперь подставим все значения в формулу:

$P_4(3) = 4 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^1 = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 = 0,4096$

Ответ: $0,4096$.

4 раза

Найдем вероятность того, что событие наступит ровно $k=4$ раза в $n=4$ испытаниях. Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_4(4) = C_4^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{4-4}$

Сначала вычислим число сочетаний $C_4^4$:

$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} = 1$ (по определению $0! = 1$)

Теперь подставим все значения в формулу:

$P_4(4) = 1 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,4096 \cdot 1 = 0,4096$

Ответ: $0,4096$.