Номер 280, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

280. Стрелок, имеющий четыре патрона, производит выстрелы до попадания в цель. Вероятность попадания в цель — 0,6. Напишите закон расположения потраченных стрелком патронов для попадания в цель.

Дано:

Общее количество патронов: $n = 4$.

Вероятность попадания в цель одним выстрелом: $p = 0,6$.

Найти:

Закон распределения случайной величины $X$ — числа потраченных стрелком патронов.

Решение:

Пусть $X$ — это дискретная случайная величина, равная количеству патронов, которые израсходует стрелок. Стрельба ведется до первого попадания или до тех пор, пока не закончатся патроны. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3 или 4.

Найдем вероятность промаха при одном выстреле, которую обозначим как $q$.

$q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $X$.

Событие $X=1$ означает, что стрелок попал в цель с первого выстрела. Вероятность этого события:

$P(X=1) = p = 0,6$.

Событие $X=2$ означает, что стрелок первым выстрелом промахнулся (вероятность $q$), а вторым — попал (вероятность $p$). Вероятность этого события:

$P(X=2) = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$.

Событие $X=3$ означает, что стрелок промахнулся первыми двумя выстрелами (вероятность $q^2$) и попал третьим (вероятность $p$). Вероятность этого события:

$P(X=3) = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096$.

Событие $X=4$ означает, что стрелок израсходовал все четыре патрона. Это произойдет, если первые три выстрела были промахами. В этом случае стрелок обязан сделать четвертый выстрел, независимо от того, попадет он или нет. Таким образом, количество потраченных патронов будет равно четырем, если были совершены три промаха подряд. Вероятность этого события:

$P(X=4) = q^3 = (0,4)^3 = 0,064$.

Для проверки убедимся, что сумма всех найденных вероятностей равна 1:

$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, что подтверждает корректность расчетов.

Закон распределения представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ:

Закон распределения для числа потраченных патронов $X$ имеет следующий вид: