Номер 278, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

278. Дана арифметическая прогрессия из четырех членов, причем значения средних членов равны 8 и 12. Составьте закон распределения случайной величины, если вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов.

Дано:

Арифметическая прогрессия из четырех членов: $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Средние члены прогрессии: $a_2 = 8$, $a_3 = 12$.

Случайная величина $X$ принимает значения, равные членам этой прогрессии: $x_i = a_i$.

Вероятности $p_i = P(X = x_i)$.

Вероятности средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов, т.е. $p_2 = p_3 = 4p_1 = 4p_4$.

Найти:

Закон распределения случайной величины $X$.

Решение:

1. Найдем все члены арифметической прогрессии, которые являются возможными значениями случайной величины.

Пусть $d$ - разность арифметической прогрессии. По определению, $a_{n+1} = a_n + d$.

Используя данные нам средние члены $a_2=8$ и $a_3=12$, найдем разность прогрессии:

$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.

Теперь можем найти крайние члены прогрессии:

Первый член: $a_1 = a_2 - d = 8 - 4 = 4$.

Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Следовательно, случайная величина $X$ может принимать следующие значения: $x_1=4$, $x_2=8$, $x_3=12$, $x_4=16$.

2. Определим вероятности $p_1, p_2, p_3, p_4$, соответствующие каждому из этих значений.

Из условия следует, что вероятности крайних членов равны между собой ($p_1 = p_4$) и вероятности средних членов также равны между собой ($p_2 = p_3$). Обозначим вероятность крайнего члена как $p$, то есть $p_1 = p_4 = p$.

Тогда вероятность среднего члена будет $p_2 = p_3 = 4p$.

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:

$\sum_{i=1}^{4} p_i = 1$

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$

Подставим выражения для вероятностей через $p$:

$p + 4p + 4p + p = 1$

$10p = 1$

$p = \frac{1}{10} = 0.1$

Теперь найдем числовые значения всех вероятностей:

$p_1 = p_4 = p = 0.1$

$p_2 = p_3 = 4p = 4 \times 0.1 = 0.4$

Проверка: $0.1 + 0.4 + 0.4 + 0.1 = 1.0$, что верно.

3. Составим закон распределения случайной величины в виде таблицы, которая является стандартной формой представления закона распределения дискретной случайной величины.

Ответ:

Закон распределения данной случайной величины $X$ представлен в таблице: