Страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

278. Дана арифметическая прогрессия из четырех членов, причем значения средних членов равны 8 и 12. Составьте закон распределения случайной величины, если вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов.

Дано:

Арифметическая прогрессия из четырех членов: $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Средние члены прогрессии: $a_2 = 8$, $a_3 = 12$.

Случайная величина $X$ принимает значения, равные членам этой прогрессии: $x_i = a_i$.

Вероятности $p_i = P(X = x_i)$.

Вероятности средних членов в 4 раза больше вероятностей крайних членов, т.е. $p_2 = p_3 = 4p_1 = 4p_4$.

Найти:

Закон распределения случайной величины $X$.

Решение:

1. Найдем все члены арифметической прогрессии, которые являются возможными значениями случайной величины.

Пусть $d$ - разность арифметической прогрессии. По определению, $a_{n+1} = a_n + d$.

Используя данные нам средние члены $a_2=8$ и $a_3=12$, найдем разность прогрессии:

$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.

Теперь можем найти крайние члены прогрессии:

Первый член: $a_1 = a_2 - d = 8 - 4 = 4$.

Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Следовательно, случайная величина $X$ может принимать следующие значения: $x_1=4$, $x_2=8$, $x_3=12$, $x_4=16$.

2. Определим вероятности $p_1, p_2, p_3, p_4$, соответствующие каждому из этих значений.

Из условия следует, что вероятности крайних членов равны между собой ($p_1 = p_4$) и вероятности средних членов также равны между собой ($p_2 = p_3$). Обозначим вероятность крайнего члена как $p$, то есть $p_1 = p_4 = p$.

Тогда вероятность среднего члена будет $p_2 = p_3 = 4p$.

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:

$\sum_{i=1}^{4} p_i = 1$

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$

Подставим выражения для вероятностей через $p$:

$p + 4p + 4p + p = 1$

$10p = 1$

$p = \frac{1}{10} = 0.1$

Теперь найдем числовые значения всех вероятностей:

$p_1 = p_4 = p = 0.1$

$p_2 = p_3 = 4p = 4 \times 0.1 = 0.4$

Проверка: $0.1 + 0.4 + 0.4 + 0.1 = 1.0$, что верно.

3. Составим закон распределения случайной величины в виде таблицы, которая является стандартной формой представления закона распределения дискретной случайной величины.

Ответ:

Закон распределения данной случайной величины $X$ представлен в таблице:

279. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,9. Составьте закон распределения числа попаданий.

Дано:

Количество независимых выстрелов (испытаний): $n = 3$.

Вероятность попадания при каждом выстреле (вероятность «успеха»): $p = 0.9$.

Найти:

Составить закон распределения для случайной величины $X$ — числа попаданий.

Решение:

Пусть $X$ — это случайная величина, которая представляет собой число попаданий в мишень. Поскольку производится 3 выстрела, $X$ может принимать значения 0, 1, 2 или 3.

Данная задача описывается схемой Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя возможными исходами (попадание или промах) и постоянной вероятностью «успеха» в каждом испытании.

Вероятность попадания (успеха) в одном выстреле: $p = 0.9$.

Следовательно, вероятность промаха (неудачи): $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Вероятность того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $X$ при $n=3$.

1. Вероятность 0 попаданий ($k=0$)

Это означает 3 промаха из 3 выстрелов.

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 0.001 = 0.001$

2. Вероятность 1 попадания ($k=1$)

Это означает 1 попадание и 2 промаха.

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^{2} = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.01 = 0.027$

3. Вероятность 2 попаданий ($k=2$)

Это означает 2 попадания и 1 промах.

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^{1} = 3 \cdot 0.81 \cdot 0.1 = 0.243$

4. Вероятность 3 попаданий ($k=3$)

Это означает 3 попадания из 3 выстрелов.

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^{0} = 1 \cdot 0.729 \cdot 1 = 0.729$

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$0.001 + 0.027 + 0.243 + 0.729 = 1.000$

Расчеты верны. Теперь можно представить закон распределения в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения случайной величины $X$ (числа попаданий) представлен в следующей таблице:

280. Стрелок, имеющий четыре патрона, производит выстрелы до попадания в цель. Вероятность попадания в цель — 0,6. Напишите закон расположения потраченных стрелком патронов для попадания в цель.

Дано:

Общее количество патронов: $n = 4$.

Вероятность попадания в цель одним выстрелом: $p = 0,6$.

Найти:

Закон распределения случайной величины $X$ — числа потраченных стрелком патронов.

Решение:

Пусть $X$ — это дискретная случайная величина, равная количеству патронов, которые израсходует стрелок. Стрельба ведется до первого попадания или до тех пор, пока не закончатся патроны. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3 или 4.

Найдем вероятность промаха при одном выстреле, которую обозначим как $q$.

$q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $X$.

Событие $X=1$ означает, что стрелок попал в цель с первого выстрела. Вероятность этого события:

$P(X=1) = p = 0,6$.

Событие $X=2$ означает, что стрелок первым выстрелом промахнулся (вероятность $q$), а вторым — попал (вероятность $p$). Вероятность этого события:

$P(X=2) = q \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24$.

Событие $X=3$ означает, что стрелок промахнулся первыми двумя выстрелами (вероятность $q^2$) и попал третьим (вероятность $p$). Вероятность этого события:

$P(X=3) = q^2 \cdot p = (0,4)^2 \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096$.

Событие $X=4$ означает, что стрелок израсходовал все четыре патрона. Это произойдет, если первые три выстрела были промахами. В этом случае стрелок обязан сделать четвертый выстрел, независимо от того, попадет он или нет. Таким образом, количество потраченных патронов будет равно четырем, если были совершены три промаха подряд. Вероятность этого события:

$P(X=4) = q^3 = (0,4)^3 = 0,064$.

Для проверки убедимся, что сумма всех найденных вероятностей равна 1:

$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, что подтверждает корректность расчетов.

Закон распределения представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ:

Закон распределения для числа потраченных патронов $X$ имеет следующий вид:

281. Продано 100 лотерейных билетов, причем один билет обеспечивает выигрыш владельцу 500 тенге, десять билетов — 100 тенге, 50 билетов — 50 тенге, а остальные билеты безвыигрышные. Составьте закон распределения выигрыша для владельца одного билета.

Дано:

Общее количество лотерейных билетов: $N = 100$.
Количество билетов с выигрышем 500 тенге: $n_1 = 1$.
Количество билетов с выигрышем 100 тенге: $n_2 = 10$.
Количество билетов с выигрышем 50 тенге: $n_3 = 50$.

Найти:

Составить закон распределения выигрыша для владельца одного билета.

Решение:

Пусть $X$ — это случайная величина, которая представляет собой размер выигрыша по одному купленному лотерейному билету. Эта величина может принимать следующие значения: 500, 100, 50, 0 (если билет безвыигрышный).

Сначала определим общее количество выигрышных билетов:
$n_{выигрышных} = 1 + 10 + 50 = 61$.

Теперь найдем количество безвыигрышных билетов, вычитая количество выигрышных из общего числа билетов:
$n_{безвыигрышных} = 100 - 61 = 39$.

Вероятность каждого возможного исхода (выигрыша) определяется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число возможных исходов. В данном случае общее число исходов равно общему количеству билетов, то есть $n=100$.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$:
1. Вероятность выигрыша 500 тенге:
$P(X=500) = \frac{1}{100} = 0.01$.
2. Вероятность выигрыша 100 тенге:
$P(X=100) = \frac{10}{100} = 0.1$.
3. Вероятность выигрыша 50 тенге:
$P(X=50) = \frac{50}{100} = 0.5$.
4. Вероятность отсутствия выигрыша (выигрыш 0 тенге):
$P(X=0) = \frac{39}{100} = 0.39$.

Для проверки правильности расчетов, убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:
$\sum P_i = 0.01 + 0.1 + 0.5 + 0.39 = 1.00$.
Условие нормировки выполняется.

Теперь можно составить закон распределения выигрыша в виде таблицы, где каждому возможному значению выигрыша $X_i$ ставится в соответствие его вероятность $p_i$.

Ответ:

Закон распределения выигрыша для владельца одного билета представлен в следующей таблице:

282. Монета брошена один раз. Найдите закон распределения, выпадания монеты стороной, на которой изображен герб.

283. Два стрелка попадают по мишеням. Вероятность попадания ми

Для нахождения закона распределения введем дискретную случайную величину $X$, которая равна числу выпадений стороны с гербом при одном броске монеты.

Так как монета бросается один раз, случайная величина $X$ может принять только два возможных значения:

1. $X=0$, если герб не выпал (то есть выпала решка).

2. $X=1$, если выпал герб.

Будем считать, что монета симметрична («честная»), а значит, события выпадения герба и решки равновероятны.

Вероятность выпадения герба (событие $X=1$) равна: $P(X=1) = \frac{1}{2} = 0,5$

Вероятность того, что герб не выпадет (событие $X=0$), также равна: $P(X=0) = \frac{1}{2} = 0,5$

Закон распределения случайной величины представляет собой соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Для дискретной случайной величины его обычно представляют в виде таблицы.

Проверим выполнение основного свойства распределения: сумма вероятностей всех возможных значений должна быть равна 1. $0,5 + 0,5 = 1$. Условие выполняется.

Таким образом, искомый закон распределения можно представить в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения для числа выпадений герба при одном броске монеты имеет следующий вид:

283. Два стрелка целятся по мишеням. Вероятность попадания их в мишень соответственно равна 0,9 и 0,8. Стрелки по очереди производят по одному выстрелу. Случайная величина $X$ — это число попаданий в цель. Напишите закон распределения этой случайной величины.

Дано:

Вероятность попадания первого стрелка: $p_1 = 0.9$.

Вероятность попадания второго стрелка: $p_2 = 0.8$.

Случайная величина X — число попаданий в цель.

Найти:

Закон распределения случайной величины X.

Решение:

Случайная величина X, представляющая собой общее число попаданий в цель при двух выстрелах, может принимать три возможных значения: 0 (оба стрелка промахнулись), 1 (один попал, другой промахнулся) или 2 (оба попали).

Определим вероятности для каждого из этих значений.

Пусть событие $A_1$ — попадание первого стрелка, а событие $A_2$ — попадание второго стрелка. По условию, их вероятности равны:

$P(A_1) = p_1 = 0.9$

$P(A_2) = p_2 = 0.8$

Тогда вероятности промахов для каждого стрелка (события $\bar{A_1}$ и $\bar{A_2}$) будут равны:

$P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.9 = 0.1$

$P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.8 = 0.2$

Поскольку выстрелы стрелков являются независимыми событиями, мы можем рассчитать вероятности для каждого значения X.

1. Вероятность того, что попаданий не будет (X=0). Это означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промахов каждого стрелка:

$P(X=0) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$

2. Вероятность того, что будет ровно одно попадание (X=1). Это событие может произойти в двух несовместных случаях:
а) Первый стрелок попал, а второй промахнулся.
б) Первый стрелок промахнулся, а второй попал.
Вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих двух случаев.

Вероятность случая (а): $P(A_1 \cap \bar{A_2}) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18$

Вероятность случая (б): $P(\bar{A_1} \cap A_2) = P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) = 0.1 \cdot 0.8 = 0.08$

Суммарная вероятность для X=1:

$P(X=1) = P(A_1 \cap \bar{A_2}) + P(\bar{A_1} \cap A_2) = 0.18 + 0.08 = 0.26$

3. Вероятность того, что будет два попадания (X=2). Это означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попаданий каждого стрелка:

$P(X=2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.02 + 0.26 + 0.72 = 1.00$

Таким образом, закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения случайной величины X (числа попаданий) имеет следующий вид: