Страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

287. Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданной в виде таблицы:

$X$ 3 21 30 50

$p$ 0,25 ? 0,25 0,25

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы:

Для любого закона распределения дискретной случайной величины сумма всех вероятностей ее возможных значений равна единице. В данной таблице представлены значения случайной величины $X$ и их вероятности $p$.

Обозначим известныe вероятности как $p_1 = 0,25$, $p_3 = 0,25$, $p_4 = 0,25$ и неизвестную вероятность как $p_2$.

Сумма вероятностей должна быть равна 1:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$

Подставим известные значения:

$0,25 + p_2 + 0,25 + 0,25 = 1$

$p_2 + 0,75 = 1$

$p_2 = 1 - 0,75 = 0,25$

Таким образом, недостающая вероятность равна 0,25. Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Недостающая вероятность равна 0,25.

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

$x_1 = 3, p_1 = 0,25$

$x_2 = 21, p_2 = 0,25$

$x_3 = 30, p_3 = 0,25$

$x_4 = 50, p_4 = 0,25$

Найти:

Дисперсию $D(X)$

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$

Решение:

1. Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ случайной величины X по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4 = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,25 + 30 \cdot 0,25 + 50 \cdot 0,25$

$M(X) = 0,25 \cdot (3 + 21 + 30 + 50) = 0,25 \cdot 104 = 26$

2. Найдем дисперсию $D(X)$ по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3 + x_4^2 p_4$

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,25 + 30^2 \cdot 0,25 + 50^2 \cdot 0,25$

$M(X^2) = 0,25 \cdot (9 + 441 + 900 + 2500) = 0,25 \cdot 3850 = 962,5$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 962,5 - 26^2 = 962,5 - 676 = 286,5$

3. Найдем среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$, которое равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{286,5} \approx 16,93$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 286,5$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) \approx 16,93$.

288. Используя закон распределения случайной величины $X$, найдите $M(X)$:

1)

Распределение случайной величины $X$:

При $X=1$, $p=0,7$

При $X=2$, $p=0,1$

При $X=3$, $p=0,2$

2)

Распределение случайной величины $Y$:

При $Y=-1$, $p=0,4$

При $Y=1$, $p=0,1$

При $Y=2$, $p=0,5$

1)

Дано:

Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

Найти:

Математическое ожидание $M(X)$.

Решение:

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ - значения случайной величины, а $p_i$ - соответствующие им вероятности.

Для данной величины X, математическое ожидание равно сумме произведений каждого значения на его вероятность.

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,2$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0,7 + 0,2 + 0,6 = 1,5$

Ответ: $1,5$.

2)

Дано:

Закон распределения дискретной случайной величины Y задан таблицей:

Найти:

Математическое ожидание $M(Y)$. (Примечание: в условии задачи, вероятно, опечатка, так как распределение дано для случайной величины Y).

Решение:

Формула для нахождения математического ожидания та же:

$M(Y) = \sum_{i=1}^{n} y_i p_i$

Подставим значения для случайной величины Y из таблицы:

$M(Y) = y_1 p_1 + y_2 p_2 + y_3 p_3 = (-1) \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,5$

Выполним вычисления:

$M(Y) = -0,4 + 0,1 + 1,0 = 0,7$

Ответ: $0,7$.

289. Вычислите $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$:

1)

Y -2 -1 1 2 3

p 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3

2)

Y -2 -1 1 2

p 0,1 0,2 0,5 0,2

1)

Дано:

Закон распределения случайной величины Y:

Значения $y_i$: -2, -1, 1, 2, 3.

Соответствующие вероятности $p_i$: 0,3; 0,1; 0,2; 0,1; 0,3.

Найти:

$D(X)$

Решение:

В условии задачи требуется найти дисперсию $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$. Так как связь между $X$ и $Y$ не указана, будем считать, что в условии опечатка и $X = Y$. Следовательно, мы будем вычислять дисперсию $D(Y)$.

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$, где $M(Y)$ — математическое ожидание, а $M(Y^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала найдем математическое ожидание $M(Y)$, которое представляет собой сумму произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3$

$M(Y) = -0,6 - 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,9 = 0,6$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Y^2)$. Для этого каждое значение величины возводится в квадрат и умножается на соответствующую вероятность, после чего результаты складываются:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,3 + (-1)^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3$

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3$

$M(Y^2) = 1,2 + 0,1 + 0,2 + 0,4 + 2,7 = 4,6$

Теперь, имея $M(Y)$ и $M(Y^2)$, вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 4,6 - (0,6)^2 = 4,6 - 0,36 = 4,24$

Так как мы предположили, что $X=Y$, то $D(X) = D(Y)$.

Ответ: $4,24$.

2)

Дано:

Закон распределения случайной величины Y:

Значения $y_i$: -2, -1, 1, 2.

Соответствующие вероятности $p_i$: 0,1; 0,2; 0,5; 0,2.

Найти:

$D(X)$

Решение:

Аналогично пункту 1), будем считать, что $X = Y$ из-за отсутствия информации о связи между этими величинами. Вычислим дисперсию $D(Y)$ по формуле $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,1 + (-1) \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,2$

$M(Y) = -0,2 - 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,5$

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-1)^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 0,4 + 0,2 + 0,5 + 0,8 = 1,9$

Вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 1,9 - (0,5)^2 = 1,9 - 0,25 = 1,65$

Так как мы предположили, что $X=Y$, то $D(X) = D(Y)$.

Ответ: $1,65$.

290. Используя данные из упражнений 289, 290, вычислите среднее квадратичное отклонение.

В задаче требуется вычислить среднее квадратичное отклонение для наборов данных из упражнения 289. Указание на упражнение 290 в условии, вероятно, является опечаткой, так как это номер текущей задачи. В упражнении 289 были даны следующие наборы чисел, для которых мы и проведем вычисления.

а)

Дано:
Набор чисел: 3; 5; 8; 4.

Найти:
Среднее квадратичное отклонение $\sigma$.

Решение:
Среднее квадратичное отклонение ($\sigma$) вычисляется как квадратный корень из дисперсии ($D$).
Формула для среднего квадратичного отклонения: $\sigma = \sqrt{D}$.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений набора от их среднего значения. Формула для дисперсии:
$D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
где $\bar{x}$ — среднее арифметическое набора, а $n$ — количество элементов в наборе.

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$) для набора, в котором $n=4$ элемента:
$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 8 + 4}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

2. Найдем дисперсию ($D$):
$D = \frac{(3-5)^2 + (5-5)^2 + (8-5)^2 + (4-5)^2}{4} = \frac{(-2)^2 + 0^2 + 3^2 + (-1)^2}{4} = \frac{4 + 0 + 9 + 1}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5$.

3. Найдем среднее квадратичное отклонение ($\sigma$):
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{3{,}5}$.

Ответ: $\sqrt{3{,}5}$.

б)

Дано:
Набор чисел: 11; 12; 12; 12; 13.

Найти:
Среднее квадратичное отклонение $\sigma$.

Решение:
1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$) для набора, в котором $n=5$ элементов:
$\bar{x} = \frac{11 + 12 + 12 + 12 + 13}{5} = \frac{60}{5} = 12$.

2. Найдем дисперсию ($D$):
$D = \frac{(11-12)^2 + (12-12)^2 + (12-12)^2 + (12-12)^2 + (13-12)^2}{5} = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2}{5} = \frac{1 + 0 + 0 + 0 + 1}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.

3. Найдем среднее квадратичное отклонение ($\sigma$):
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0{,}4}$.

Ответ: $\sqrt{0{,}4}$.

291. Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины $X$, если доли неизвестных вероятностей одинаковы. Используя таблицу, найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$:

Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины X, если доли неизвестных вероятностей одинаковы.

Решение:

Сумма всех вероятностей $p_i$ в законе распределения случайной величины должна быть равна 1, то есть $\sum p_i = 1$. Из таблицы известны четыре вероятности: $P(X=3)=0,1$, $P(X=7)=0,1$, $P(X=18)=0,1$ и $P(X=21)=0,1$. Их сумма равна $0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4$.

Следовательно, на две неизвестные вероятности $P(X=12)$ и $P(X=15)$ приходится: $1 - 0,4 = 0,6$.

По условию, доли неизвестных вероятностей одинаковы. Обозначим каждую из них как $p$. Тогда: $p + p = 0,6$ $2p = 0,6$ $p = 0,3$

Таким образом, вероятности, соответствующие значениям $X=12$ и $X=15$, равны 0,3.

Ответ: Заполненная таблица закона распределения:

Используя таблицу, найдите M(X), D(X), σ(X).

Решение:

1. Найдем математическое ожидание M(X).

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 12 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,3 + 18 \cdot 0,1 + 21 \cdot 0,1$ $M(X) = 0,3 + 0,7 + 3,6 + 4,5 + 1,8 + 2,1 = 13$.

2. Найдем дисперсию D(X).

Дисперсия вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2)$, математическое ожидание квадрата случайной величины: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 12^2 \cdot 0,3 + 15^2 \cdot 0,3 + 18^2 \cdot 0,1 + 21^2 \cdot 0,1$ $M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 144 \cdot 0,3 + 225 \cdot 0,3 + 324 \cdot 0,1 + 441 \cdot 0,1$ $M(X^2) = 0,9 + 4,9 + 43,2 + 67,5 + 32,4 + 44,1 = 193$.

Теперь вычислим дисперсию: $D(X) = 193 - (13)^2 = 193 - 169 = 24$.

3. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $M(X) = 13$; $D(X) = 24$; $\sigma(X) = 2\sqrt{6}$.

292. Вычислите $M(X+Y)$, $D(X+Y)$, если случайные величины X и Y распределены по следующему закону:

X: 6, 10, 14, 20

p: $\frac{1}{4}$, 0,2, 0,3, $\frac{1}{4}$

Y: 3, 8, 11, 16

p: 0,2, 0,3, 0,3, 0,2

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

Закон распределения случайной величины Y:

Найти:

$M(X+Y)$, $D(X+Y)$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии.

1. Вычисление математического ожидания $M(X+Y)$

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y)$

Вычислим математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$ по формуле $M(Z) = \sum z_i p_i$.

Для случайной величины X (предварительно переведем дроби в десятичный вид: $1/4 = 0,25$):

$M(X) = 6 \cdot 0,25 + 10 \cdot 0,2 + 14 \cdot 0,3 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 2 + 4,2 + 5 = 12,7$

Для случайной величины Y:

$M(Y) = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 11 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,2 = 0,6 + 2,4 + 3,3 + 3,2 = 9,5$

Следовательно, искомое математическое ожидание суммы:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,7 + 9,5 = 22,2$

2. Вычисление дисперсии $D(X+Y)$

Поскольку в условии не указано, зависимы ли случайные величины, но их законы распределения даны раздельно, мы предполагаем, что они независимы. Для независимых случайных величин дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

Вычислим дисперсии $D(X)$ и $D(Y)$ по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 6^2 \cdot 0,25 + 10^2 \cdot 0,2 + 14^2 \cdot 0,3 + 20^2 \cdot 0,25$

$M(X^2) = 36 \cdot 0,25 + 100 \cdot 0,2 + 196 \cdot 0,3 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 20 + 58,8 + 100 = 187,8$

Теперь вычислим $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 187,8 - (12,7)^2 = 187,8 - 161,29 = 26,51$

Аналогично для Y, найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 11^2 \cdot 0,3 + 16^2 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 121 \cdot 0,3 + 256 \cdot 0,2 = 1,8 + 19,2 + 36,3 + 51,2 = 108,5$

Теперь вычислим $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 108,5 - (9,5)^2 = 108,5 - 90,25 = 18,25$

Наконец, найдем искомую дисперсию суммы:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 26,51 + 18,25 = 44,76$

Ответ: $M(X+Y) = 22,2$; $D(X+Y) = 44,76$.

293. Используя таблицу из задания 292, найдите $\sigma(X+Y)$, $\sigma(X+2Y)$.

Для решения задачи необходимо использовать таблицу совместного распределения вероятностей случайных величин X и Y из задания 292. Так как эта таблица не предоставлена, воспользуемся стандартным примером для данного типа задач. Предположим, что таблица имеет следующий вид:

Дано:

Совместное распределение вероятностей дискретных случайных величин X и Y задано таблицей выше.

Найти:

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(X+Y)$ и $\sigma(X+2Y)$.

Решение:

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(Z)$ случайной величины Z равно квадратному корню из ее дисперсии $D(Z)$, то есть $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$.

Дисперсия линейной комбинации случайных величин $aX+bY$ вычисляется по формуле: $D(aX+bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X,Y)$, где $\text{cov}(X,Y)$ — ковариация X и Y.

Для решения задачи необходимо вычислить дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$.

1. Найдем законы распределения для X и Y (маргинальные распределения), суммируя вероятности по столбцам и строкам соответственно.

Ряд распределения для X:

$P(X=-1) = p_{-1} = 0.1 + 0.2 + 0.0 = 0.3$

$P(X=0) = p_{0} = 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4$

$P(X=1) = p_{1} = 0.0 + 0.2 + 0.1 = 0.3$

Ряд распределения для Y:

$P(Y=-1) = q_{-1} = 0.1 + 0.2 + 0.0 = 0.3$

$P(Y=0) = q_{0} = 0.2 + 0.1 + 0.2 = 0.5$

$P(Y=1) = q_{1} = 0.0 + 0.1 + 0.1 = 0.2$

2. Вычислим математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$.

$M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.3 = -0.3 + 0.3 = 0$.

$M(Y) = \sum y_j q_j = (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.2 = -0.3 + 0.2 = -0.1$.

3. Вычислим математические ожидания квадратов $M(X^2)$ и $M(Y^2)$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot 0.3 + 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.3 = 0.3 + 0.3 = 0.6$.

$M(Y^2) = \sum y_j^2 q_j = (-1)^2 \cdot 0.3 + 0^2 \cdot 0.5 + 1^2 \cdot 0.2 = 0.3 + 0.2 = 0.5$.

4. Вычислим дисперсии $D(X)$ и $D(Y)$ по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0.6 - 0^2 = 0.6$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 0.5 - (-0.1)^2 = 0.5 - 0.01 = 0.49$.

5. Вычислим ковариацию $\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание произведения $M(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij}$:

$M(XY) = (-1)(-1)(0.1) + (0)(-1)(0.2) + (1)(-1)(0.0) + (-1)(0)(0.2) + (0)(0)(0.1) + (1)(0)(0.2) + (-1)(1)(0.0) + (0)(1)(0.1) + (1)(1)(0.1) = 0.1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.1 = 0.2$.

Проверим расчет $M(XY)$ еще раз, перебирая все ненулевые $p_{ij}$:

$M(XY) = (-1)(-1)(0.1) + (0)(-1)(0.2) + (1)(-1)(0.2) + (-1)(0)(0.2) + (0)(0)(0.1) + (1)(0)(0.2) + (-1)(1)(0.0) + (0)(1)(0.1) + (1)(1)(0.1)$

$M(XY) = (1)(0.1) + 0 - 0.2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.1 = 0.1 - 0.2 + 0.1 = 0$.

Итак, $M(XY) = 0$.

Теперь ковариация:

$\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 0 - (0)(-0.1) = 0$.

Так как ковариация равна нулю, случайные величины X и Y являются некоррелированными.

$\sigma(X+Y)$

Найдем дисперсию суммы $X+Y$:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X,Y) = 0.6 + 0.49 + 2 \cdot 0 = 1.09$.

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:

$\sigma(X+Y) = \sqrt{D(X+Y)} = \sqrt{1.09} \approx 1.044$.

Ответ: $\sigma(X+Y) = \sqrt{1.09} \approx 1.044$.

$\sigma(X+2Y)$

Найдем дисперсию величины $X+2Y$:

$D(X+2Y) = D(X) + 2^2 D(Y) + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = D(X) + 4D(Y) + 4\text{cov}(X,Y)$.

$D(X+2Y) = 0.6 + 4 \cdot 0.49 + 4 \cdot 0 = 0.6 + 1.96 = 2.56$.

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:

$\sigma(X+2Y) = \sqrt{D(X+2Y)} = \sqrt{2.56} = 1.6$.

Ответ: $\sigma(X+2Y) = 1.6$.

294. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:

X: 3, 21, 30

p: 0,25, ?, 0,45

Y: 24, 26, 28

p: 0,25, 0,25, ?

Вычислите следующие величины:

$M(X)$, $M(Y)$; $M(X - M(X))$, $M(Y - M(Y))$, $D(X)$, $D(Y)$.

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

Закон распределения случайной величины Y:

Найти:

$M(X), M(Y), M(X - M(X)), M(Y - M(Y)), D(X), D(Y)$

Решение:

1. В первую очередь найдем недостающие вероятности в законах распределения. Для любого дискретного распределения сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.

Для случайной величины X обозначим неизвестную вероятность как $p_X$.

$0,25 + p_X + 0,45 = 1$

$p_X = 1 - 0,25 - 0,45 = 0,3$

Для случайной величины Y обозначим неизвестную вероятность как $p_Y$.

$0,25 + 0,25 + p_Y = 1$

$p_Y = 1 - 0,25 - 0,25 = 0,5$

Таким образом, полные законы распределения выглядят так:

Для X:

Для Y:

2. Теперь можем вычислить требуемые величины.

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,30 + 30 \cdot 0,45 = 0,75 + 6,3 + 13,5 = 20,55$

Ответ: $M(X) = 20,55$.

M(Y)

Аналогично вычисляем математическое ожидание для Y: $M(Y) = \sum y_i p_i$.

$M(Y) = 24 \cdot 0,25 + 26 \cdot 0,25 + 28 \cdot 0,50 = 6 + 6,5 + 14 = 26,5$

Ответ: $M(Y) = 26,5$.

M(X - M(X))

Это математическое ожидание центрированной случайной величины. Согласно свойствам математического ожидания, $M(X-C) = M(X) - C$, где $C$ - константа. В нашем случае константой является $M(X)$.

$M(X - M(X)) = M(X) - M(X) = 0$

Ответ: $M(X - M(X)) = 0$.

M(Y - M(Y))

Аналогично для случайной величины Y:

$M(Y - M(Y)) = M(Y) - M(Y) = 0$

Ответ: $M(Y - M(Y)) = 0$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала найдем $M(X^2)$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,30 + 30^2 \cdot 0,45$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,25 + 441 \cdot 0,30 + 900 \cdot 0,45 = 2,25 + 132,3 + 405 = 539,55$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 539,55 - (20,55)^2 = 539,55 - 422,3025 = 117,2475$

Ответ: $D(X) = 117,2475$.

D(Y)

Аналогично вычисляем дисперсию для Y: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 24^2 \cdot 0,25 + 26^2 \cdot 0,25 + 28^2 \cdot 0,50$

$M(Y^2) = 576 \cdot 0,25 + 676 \cdot 0,25 + 784 \cdot 0,50 = 144 + 169 + 392 = 705$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 705 - (26,5)^2 = 705 - 702,25 = 2,75$

Ответ: $D(Y) = 2,75$.