Номер 287, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

287. Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданной в виде таблицы:

$X$ 3 21 30 50

$p$ 0,25 ? 0,25 0,25

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы:

Для любого закона распределения дискретной случайной величины сумма всех вероятностей ее возможных значений равна единице. В данной таблице представлены значения случайной величины $X$ и их вероятности $p$.

Обозначим известныe вероятности как $p_1 = 0,25$, $p_3 = 0,25$, $p_4 = 0,25$ и неизвестную вероятность как $p_2$.

Сумма вероятностей должна быть равна 1:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$

Подставим известные значения:

$0,25 + p_2 + 0,25 + 0,25 = 1$

$p_2 + 0,75 = 1$

$p_2 = 1 - 0,75 = 0,25$

Таким образом, недостающая вероятность равна 0,25. Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Недостающая вероятность равна 0,25.

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

$x_1 = 3, p_1 = 0,25$

$x_2 = 21, p_2 = 0,25$

$x_3 = 30, p_3 = 0,25$

$x_4 = 50, p_4 = 0,25$

Найти:

Дисперсию $D(X)$

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$

Решение:

1. Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ случайной величины X по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4 = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,25 + 30 \cdot 0,25 + 50 \cdot 0,25$

$M(X) = 0,25 \cdot (3 + 21 + 30 + 50) = 0,25 \cdot 104 = 26$

2. Найдем дисперсию $D(X)$ по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3 + x_4^2 p_4$

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,25 + 30^2 \cdot 0,25 + 50^2 \cdot 0,25$

$M(X^2) = 0,25 \cdot (9 + 441 + 900 + 2500) = 0,25 \cdot 3850 = 962,5$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 962,5 - 26^2 = 962,5 - 676 = 286,5$

3. Найдем среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$, которое равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{286,5} \approx 16,93$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 286,5$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) \approx 16,93$.